Ausgezeichnete
Punkte, s. Singularitäten.
4 Wörter, 43 Zeichen
Punkte, s. Singularitäten.
oder ausgezeichnete Punkte einer Kurve sind solche Punkte, in denen sich die Kurve anders verhält, als in ihrem gewöhnlichen Verlauf. Bei den ebenen algebraischen Kurven unterscheidet man folgende Arten von S.: 1) Doppelpunkte; in einem solchen begegnen sich zwei Zweige der Kurve. Sind in diesem Punkte die zugehörigen Tangenten der beiden Zweige verschieden und reell, so hat man einen gewöhnlichen Doppelpunkt (s. Tafel: Kurven II, Fig. 13 a); sind die Tangenten imaginär, so ist der Doppelpunkt ein isolierter oder Einsiedlerpunkt. Fallen die beiden Tangenten in eine zusammen, so liegen die beiden Kurvenzweige entweder auf verschiedenen Seiten dieser Tangente und man hat eine Spitze erster Art oder Rückkehrpunkt (Fig. 13 b), oder sie liegen auf derselben Seite und die Kurve hat eine Spitze zweiter Art (Fig. 13 i). Gehen durch einen Punkt mehr als zwei Zweige der Kurve, so ist dieser Punkt ein vielfacher Punkt, wie z. B. der Punkt bei 13 g, der ein dreifacher ist. 2) Wendepunkte; in einem solchen geht die Kurve von der einen Seite der zu diesem Punkte gehörigen Tangente auf die andere Seite über (Fig. 13 f). Ein Wendepunkt kann zugleich auch Doppelpunkt sein, wie der Mittelpunkt auf Taf. I, Fig. 3. 3) Doppeltangenten sind solche Tangenten, welche die Kurve in zwei verschiedenen Punkten berühren, wie z. B. auf Taf. II, Fig. 5, in der beide Cykloiden eine solche Doppeltangente (hier sogar eine vielfache Tangente) zeigen. Die Beziehungen, die zwischen den verschiedenen Arten von S. einer ebenen algebraischen Kurve bestehen, hat Plücker aufgefunden. Man kann sich die höhern S. aus niedern entstanden denken. Z. B. entsteht die Spitze in 13 b, wenn sich die Schleife des Doppelpunktes in 13 a zu einem Punkt zusammenzieht. In ähnlicher Weise entsteht aus 13 d die Fig. 13 e und aus 13 k die Fig. 13 i. Der dreifache Punkt in 13 g entsteht durch Zusammenrücken der drei Doppelpunkte in 13 c oder 13 h.
Bei Raumkurven unterscheidet man außer den wirklichen Doppelpunkten auch noch scheinbare, denn eine Raumkurve kann, von einem Punkte aus gesehen, Doppelpunkte zeigen, die in Wirklichkeit nicht vorhanden sind. Viel zahlreicher und verwickelter sind die S. bei Oberflächen. Man unterscheidet da z. B. Doppelpunkte, hier gewöhnlich Knotenpunkte genannt, Doppelkurven u. s. w. (S. Tafel: Flächen II, Fig. 8 u. 9.)