z
= c p n / 100 (1).
Ist die Zeit
n nicht in
Jahren, sondern in
Monaten oder
Tagen gegeben, so hat man noch mit 12, bez
iehentlich 360 (oder 365)
zu dividieren. Es geben also c = 1850 Mk. zu p = 5 Proz.
in 2
Jahren 85
Tagen = 805
Tagen die
Zinsen z = 1850*5*805/(100*360) = 206,84 Mk. Das vermehrte
Kapital ist nach n
Jahren
C = c + z = c * (100 + pn) / 100 (2). ¶
mehr
Das reine Kapital findet man aus den n-jährigen Zinsen z oder aus dem vermehrten Kapital C nach den Formeln
c = 100 z /(p n) = 100 * C / (100 + pn) (3).
Aus C = 1950,9 Mk., p = 4½ Proz. und n = 3 Jahre 7 Monate = 37/12 Jahre folgt 100 + pn = 100 + 4½ * 37/12 = 929 / 8 und also c = 8 * 100 * 1950,9 / 929 = 1680 Mk. Für den Zinsfuß p und die Zeit n, in Jahren ausgedrückt, hat man die Formeln
p = 100z/cn (4) und
n = 100z/cp. (5),
wobei z = C - c ist. Z. B. aus C = 2939,62 Mk., c = 2472 Mk., p = 5 Proz. folgt z = 467,62 und n = 100*467,62/(2452*5) = 347/60 Jahre = 3 Jahre 9 Monate 12 Tage. - II. Bei Berechnung von Zinseszinsen mit jährlichem Zinszuschlag setzt man 1 + p/100 = q (Zinskoeffizient, Zinsfaktor) und erhält sodann für die Größe C, die das Kapital c in n Jahren erreicht, die Formel
C = c qn (6).
Die Rechnung wird mit Logarithmen ausgeführt nach den Formeln
log C = log c + n* log q (7),
log c = log C - n* log q (8),
log q = (log C - log c) / n (9),
n = (log C - log c) / log q (10).
Ist z. B. c = 1850 Mk., p = 4½ Proz., n = 12 Jahre, so ist q = 1,045, log q = 0,01912, und man hat zufolge (6)
log 1850 = 3,26717
+ 12 * log 1,045 = 0,22944
log C = 3,49661, mithin C = 3137,71 Mk.
Auf der rechten Seite von (9) und (10) ist der Zähler soviel als log (C / c). Fragt man z. B., in wie viel Jahren sich ein Kapital zu 5 Proz. verdoppelt, so ist C / c = 2, und (10) gibt dann n = log 2 / log 1,05 = 0,30103 / 0,02119 = 14,21 Jahre. Erfolgt der Zinszuschlag k mal im Jahr, so tritt an die Stelle der Formel (6) die folgende:
C = c * (1 + p/(k*100))kn (11),
und wenn man k über alle Grenzen [* 3] wachsen läßt, so daß der Zinszuschlag stetig erfolgt, so wird
C = c e(np/100) (12),
wo e = 2,71828 die Basis der natürlichen Logarithmen bedeutet (log e = 0,4342945); bei 5 Proz. erhält man z. B. C = c * 1,05127n. Über die Berechnung der Kontokorrentzinsen s. Kontokorrent.
Vgl. Bärlocher, Handbuch der Zinseszins-, Renten-, Anlehen- und Obligationenrechnung (Zürich [* 4] 1885);
Kleyer, Lehrbuch der Zinseszins- u. Rentenrechnung (Stuttg. 1885);
Bleicher, Grundriß der Theorie der Z. (Berl. 1888);
Zinstabellen von Jacobi, Kraft, [* 5] H. Müller, Niedermüller, Seifert, Voigt u. a.