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Die Rechnung bleibt die oben beschriebene, nur muß im Resultat ein Komma gesetzt werden, sobald Dezimalstellen heruntergenommen werden, z. B. ^/4|01,|22|24 = 58,32; vgl. A.
11) Enthält der
Radikand auf der linken Seite eine oder mehrere
Klassen
mit lauter
Nullen, so hat die Wurzel
[* 3] links ebenso viele
Nullen, als die Zahl jener
Klassen beträgt; z. B. ^/0,|12|96 = 0,36, ^/0,|00|12|96
= 0,036.
12)
Hat man die
Quadratwurzel aus einem gemeinen
Bruch zu ziehen, so kann man denselben in einen Dezimalbruch verwandeln und
dann die Wurzel
ausziehen, oder man zieht letztere aus
Zähler und
Nenner und dividiert dann. Im letztern
Fall multipliziert man
vor dem
Radizieren
Zähler und
Nenner mit einer passenden Zahl, so daß der
Nenner ein
Quadrat wird; z. B. ^/(5 / 6) = ^/(30 /
36) = ^/30 / 6 = 5,4772256 / 6 = 0,9128709.
Zum Ausziehen der Kubikwurzel braucht man die Kuben (s. Kubus) der einstelligen Zahlen:
Zahl: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Kubus: | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729. |
Soll man z. B. aus 84604519 die Kubikwurzel ziehen, so teile man 1) diese Zahl durch Vertikalstriche von rechts nach links in Klassen von je 3 Ziffern: 84|604|519: die höchste Klasse (links) kann auch eine oder zwei Ziffern enthalten.
2) Man suche den höchsten Kubus (64), der sich von der höchsten Klasse (84) subtrahieren läßt, führe die Subtraktion aus und notiere die Kubikwurzel 4 als erste Ziffer des Resultats (s. die folgende Rechnung).
3) An den Rest (20) hänge man die 3 Ziffern der nächsten Klasse (604) und setze neben die gewonnene Zahl (20604) das dreifache Quadrat des bisherigen Resultats, 3 * 4 * 4 = 48, als Divisor.
4) Man dividiere, lasse aber die 2 letzten Ziffern (04) des Dividenden außer acht; der Quotient (3) ist die zweite Ziffer des Resultats.
5) Man mache jetzt die erste Nebenrechnung: Zunächst gebe man sich das Produkt des Divisors 48 und des erhaltenen Quotienten 3 an, 48 * 3 = 144, sodann das dreifache Produkt der ersten Zahl 4 und des Quadrats der zweiten: 3 * 4 * 3 * 3 = 108, endlich den Kubus der zweiten Zahl 3 * 3 * 3 = 27. Diese 3 Zahlen setze man untereinander, aber jede um eine Stelle weiter nach rechts gerückt als die vorhergehende, und addiere; die Summe 15507 ziehe man in der Hauptrechnung von 20604 ab.
6) An den Rest 5097 hänge man die Ziffern der nächsten Klasse (519), und nun verfahre man mit der Zahl 5097519 und dem bisherigen Resultat 43 genau so wie vorher mit der Zahl 20604 und dem Resultat 4, d. h. man dividiere mit 3 * 43 * 43 = 5547 in 50975, schreibe den Quotienten 9 an das Resultat 43 als dritte Ziffer und stelle in der zweiten Nebenrechnung die Produkte 5547 * 9, 3 * 43 * 9 * 9 und 9 * 9 * 9 schräg untereinander, ziehe endlich die Summe in der Hauptrechnung ab, wobei letztere aufgeht. Es ist also 439 die gesuchte W. ^[img]
7)
Wäre die
Subtraktion nicht aufgegangen, so würde man an den Rest die
Ziffern der nächsten
Klasse anhängen und nun mit 439 gerade
so operieren wie vorher mit 43 u. s. f. Es gründet sich das
Verfahren auf die
Formel (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³, wobei unter
a der bereits bekannte Teil der Wurzel
verstanden ist.
8) Geht die Subtraktion auf, und sind noch Klassen mit lauter Nullen vorhanden, so hängt man dem gewonnenen Resultat so viel Nullen an, als die Anzahl dieser Klassen beträgt.
9) Ist die Zahl, aus der man die Wurzel
ziehen soll, mit einem Dezimalbruch behaftet, so wird die Klasseneinteilung
vom Dezimalkomma aus nach links und rechts ausgeführt, wobei man die äußerste
Klasse (rechts), wenn
nötig, durch Anhängen von
Nullen auf 3
Ziffern bringt. Bei der Rechnung setzt man im
Resultat das Dezimalkomma, sobald man
die erste Dezimalklasse herabgenommen hat.
10) Geht eine Rechnung nicht auf, so kann man beliebig vielmal je drei
Nullen herabnehmen und so immer
neue Dezimalstellen der Wurzel
berechnen.