Reihen

Reihen,

in der Mathematik Folgen von Größen, die nach demselben Gesetz gebildet sind. Diese Größen selbst heißen die Glieder [* 2] der Reihe. Die bekanntesten Reihen sind die Progressionen; dies sind in denen je zwei aufeinander folgende Glieder entweder dieselbe Differenz oder dasselbe Verhältnis haben. Im ersten Fall heißt die Progression eine arithmetische, im letzten eine geometrische. Ist a das erste oder Anfangsglied, d die beständige Differenz von je zwei aufeinander folgenden Gliedern der arithmetischen Progression, t das letzte oder Endglied, so ist das Schema der arithmetischen Progression a, a + d, a + 2d, ..., t - 2d, t - d, t.

Ist n die Anzahl der Glieder, so hat man für das letzte Glied [* 3] t und für die Summe s aller Glieder die Formeln t = a+ (n - 1) d, s = n/ 2 (a + t).

Eine arithmetische Progression bilden unter andern die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ..., deren Differenz = 1 ist. Der zweiten Formel zufolge ist also z. B. die Summe der n = 100 ersten Zahlen s = 100 / 2 (1 + 100) = 50 . 101 = 5050.

Bezeichnet man in der geometrischen Progression den konstanten Quotienten von je zwei aufeinander folgenden Gliedern, den sogen. Exponenten der Progression, mit e, so ist das Schema der geometrischen Progression a, ae, ae², ae³... Für das Endglied t und die Summe s aller Glieder gelten ferner die Formeln

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Reihen - Reiher

In der bekannten Aufgabe: »Wieviel Weizenkörner erhält man, wenn man für das erste Feld des Schachbretts 1 Korn, für das zweite 2, für das dritte 4 u. s. f. für jedes folgende Feld doppelt soviel Körner als für das vorhergehende verlangt?« erhält man für das letzte Feld t = 2⁶³, d. h. 9,223372,036854,775808 Körner, und die Gesamtzahl aller Körner ist s = 2⁶⁴ - 1 oder 18,446744,073709,551615 Körner. Beispiele für Anwendung geometrische Progressionen bietet besonders die sogen. Rentenrechnung. Z. B. wie groß ist der bare Wert w einer Rente von jährlich r Mk., die nmal am Ende eines jeden Jahrs zahlbar ist? Bezeichnet q den Zinsfaktor (vgl. Zinsrechnung), so beträgt der Barwert w samt Zinsen und ¶

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Zinseszinsen nach n Jahren wqⁿ; die einzelnen nach 1, 2, 3, ... n-1, n Jahren fälligen Renten aber haben nach Ablauf [* 5] der n Jahre die Werte rq^n-1, rq^n-2, rq^n-3, ..., rq, r und die Summe dieser Werte ist r*(qⁿ-1)/(q-1) ^[img].

Mithin ist wqⁿ = r*(qⁿ-1)/(q-1) ^[img], also w = [r*(qⁿ-1)] / [qⁿ*(q-1)] ^[img].

Weitere Beispiele und Anwendungen geben alle ausführlichern Lehrbücher der allgemeinen Arithmetik. Bei den arithmetischen Progressionen sind die Differenzen zwischen den einzelnen Gliedern alle gleich. Denkt man sich aber eine Reihe, bei welcher diese Differenzen selbst eine arithmetische Progression bilden, so daß also ihre Differenzen oder die zweiten Differenzen der ursprünglichen Reihe alle gleich sind, so heißt diese Reihe eine arithmetische Reihe zweiter Ordnung, z. B. die Reihe der Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, 36 etc., deren erste Differenzen 3, 5, 7, 9, 11 etc., deren zweite Differenzen alle = 2 sind.

Sind bei einer Reihe erst die dritten Differenzen, d. h. die Differenzen der zweiten Differenzen, gleich groß, so ist dieselbe eine arithmetische Reihe dritter Ordnung, wie z. B. die Reihe der Kubikzahlen 1, 8, 27, 64, 125, 216 etc. Überhaupt bilden die nten Potenzen der natürlichen Zahlen 1, 2, 3,... eine arithmetische Reihe nter Ordnung, d. h. es sind erst die nten Differenzen derselben gleich groß. Außer den erwähnten Reihen gibt es noch zahlreiche andre; namentlich spielen die unendlichen in der Analysis eine wichtige Rolle zur Darstellung der Funktionen. Man kann dieselben aber nur dann benutzen, wenn sie konvergent sind (s. Konvergenz).