Parallēl
(griech., »nebeneinander stehend«,
gleichlaufend), in der
Geometrie Bezeichnung für zwei gerade
Linien oder zwei
Ebenen oder eine
Gerade und eine
Ebene, die überall
denselben senkrechten
Abstand haben und sich daher nirgends in endlicher
Entfernung schneiden, wie weit man sie auch verlängern
mag. Nach dem Vorgang von
Desargues (1593-1662) und
Newton sagt man auch, daß sich dieselben in unendlicher
Ferne schneiden.
Werden zwei parallele
Gerade a und b (s. Figur) von einer dritten
Geraden c geschnitten, so heißen die
Winkel
[* 2] α und α', β und β', γ und γ', δ und δ' korrespond
ierende
Winkel, α und δ', β und γ' äußere
Wechselwinkel, γ und β', δ und α' innere
Wechselwinkel, α und γ', β und δ' äußere
Winkel auf einer Seite, γ und α',
δ und β' innere
Winkel auf einer Seite. Je zwei korrespond
ierende
Winkel und ebenso je zwei
Wechselwinkel sind einander gleich,
je zwei äußere und ebenso je zwei innere
Winkel auf einer Seite dagegen betragen zusammen zwei
Rechte.
Aus jedem dieser
Sätze ergeben sich die andern, und wenn einer dieser
Sätze für zwei gegebene
Linien a und b gilt, so sind
dieselben parallel.
Der Inbegriff dieser
Sätze bildet die Parallel
entheorie. Euklid gründete dieselbe in seinen
Elementen
auf das berühmte elfte
Axiom: zwei
Gerade, die von einer dritten so geschnitten werden, daß die beiden innern
Winkel an einerlei
Seite zusammen weniger als zwei
Rechte betragen, schneiden sich auf dieser Seite. Es sind bis in die neueste Zeit zahlreiche
Versuche gemacht worden, dieses und überhaupt jedes besondere
Axiom für die Parallel
entheorie entbehrlich
zu machen und letztere bloß auf die
Eigenschaften der geraden
Linie zu gründen. Erst
Gauß, N. Lobatschewski und J. ^[János]
Bolyai haben die Unmöglichkeit des Gelingens dieser
Versuche erkannt, was zur Begründung der »nichteuklidischen« oder
»absoluten«
Geometrie
Anlaß gegeben hat (vgl.
Pangeometrie).
- In der
Rhetorik heißt parallel
dasjenige, was
eine Vergleichung in seinen Teilen oder
Eigenschaften gestattet, daher
Parallele eine solche Vergleichung selbst. Namentlich
ist letzterer
Ausdruck gebräuchlich bei der historischen Vergleichung verschiedener
Zeiten nach ihren Staatseinrichtungen
und deren Veränderungen, leitenden Persönlichkeiten etc. (z. B.
Plutarchs biographische
Parallelen).
Vgl. Parallelismus und Parallelstellen.