Jeder Schnitt der Kugel mit einer Ebene ist ein Kreis,
[* 3] dessen Radius r aus dem Kugelhalbmesser R und dem Abstand d
der Ebene vom Mittelpunkt der Kugel mittels der Formel r = ^[img] berechnet wird. Ist d = R, so schrumpft der Kreis in einem Punkt
zusammen, die Ebene berührt dann die in diesem Punkt, sie ist eine Tangentialebene. Eine solche steht
senkrecht auf dem Radius, der nach dem Berührungspunkt geht. Wird die Schnittebene durch den Mittelpunkt gelegt, so ist der
Schnitt ein größter Kugelkreis, der Mittelpunkt und Halbmesser mit der Kugel gemein hat und dieselbe in zwei gleiche Hälften
teilt; jeder andre Schnitt ist ein Nebenkreis.
Durch zwei Punkte der Kugel, wenn sie nicht die Endpunkte eines Durchmessers sind, läßt sich nur ein einziger größter Kreislegen; der zwischen den beiden Punkten gelegene Bogen
[* 4] dieses größten Kreises, gemessen im Gradmaß, oder der Winkel,
[* 5] den die
nach diesen Punkten gehenden Halbmesser der Kugel einschließen, ist die sphärische Entfernung beider Punkte.
Eine Kugelfläche kann durch Umdrehung eines Halbkreises um seinen Durchmesser erzeugt werden; letzterer heißt dann die Achse
der Kugel, und seine beiden Endpunkte sind die Pole.
Zwei Seiten sind zusammen stets größer als die dritte, die Summe aller drei Seiten aber liegt zwischen Null und vier rechten
Winkeln. Die Summe der drei Winkel liegt zwischen zwei und sechs rechten Winkeln; der Überschuß der Winkelsumme
über zwei rechte Winkel heißt der sphärische Exzeß. Wenn von den genannten sechs Stücken (Seiten und Winkeln) drei gegeben
sind, so sind die übrigen bestimmt; dieselben durch Rechnung zu finden, ist die Aufgabe der sphärischen Trigonometrie.
[* 9] Bedeutet
r den Radius der Kugel, so gelten für die Oberfläche derselben folgende Formeln:
1) Die ganze Oberfläche der Kugel ist 4r²π, also viermal so groß als die Fläche des Äquators.
2) Die Oberfläche einer Zone und ebenso einer Kalotte von der Höhe h ist 2rπh.
3) Die Fläche eines Zweiecks, dessen Winkel w° mißt, ist 4r²π(w/360).
und findet dann die ganze Kugelfläche = 41,252,96 q°, die Fläche der Zone = 20,626,48 . h/r, die des
Zweiecks = 114,5916 . w und die des sphärischen Dreiecks =