Kugel

Titel

Kugel

(Sphaera), in der Geometrie der von der Kugelfläche begrenzte Körper, oft auch s. v. w. jene selbst. Die Kugelfläche ist eine allseitig geschlossene krumme Fläche, deren Punkte alle gleichweit von einem festen Punkte, dem Mittelpunkt (Zentrum), abstehen. Diese Entfernung heißt der Halbmesser (Radius), das Doppelte derselben der Durchmesser (Diameter). Eine gerade Linie kann die Kugelfläche in nicht mehr als zwei Punkten schneiden; geht sie durch den Mittelpunkt, so ist das innerhalb der Kugel gelegene Stück ein Durchmesser.

Kreiden - Kreis

Jeder Schnitt der Kugel mit einer Ebene ist ein Kreis, [* 2] dessen Radius r aus dem Kugelhalbmesser R und dem Abstand d der Ebene vom Mittelpunkt der Kugel mittels der Formel r = ^[img] berechnet wird. Ist d = R, so schrumpft der Kreis in einem Punkt zusammen, die Ebene berührt dann die in diesem Punkt, sie ist eine Tangentialebene. Eine solche steht senkrecht auf dem Radius, der nach dem Berührungspunkt geht. Wird die Schnittebene durch den Mittelpunkt gelegt, so ist der Schnitt ein größter Kugelkreis, der Mittelpunkt und Halbmesser mit der Kugel gemein hat und dieselbe in zwei gleiche Hälften teilt; jeder andre Schnitt ist ein Nebenkreis.

Durch zwei Punkte der Kugel, wenn sie nicht die Endpunkte eines Durchmessers sind, läßt sich nur ein einziger größter Kreis legen; der zwischen den beiden Punkten gelegene Bogen [* 3] dieses größten Kreises, gemessen im Gradmaß, oder der Winkel, [* 4] den die nach diesen Punkten gehenden Halbmesser der Kugel einschließen, ist die sphärische Entfernung beider Punkte. Eine Kugelfläche kann durch Umdrehung eines Halbkreises um seinen Durchmesser erzeugt werden; letzterer heißt dann die Achse der Kugel, und seine beiden Endpunkte sind die Pole.

Kreisabschnitt - Kreis

Jeder Punkt des rotierenden Halbkreises beschreibt einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Achse liegt. Diese Kreise [* 5] liegen alle in parallelen, zur Achse senkrechten Ebenen und heißen deshalb Parallelkreise; der größte unter ihnen, dessen Mittelpunkt mit dem der Kugel zusammenfällt, ist der Äquator. Die sphärische Entfernung von einem Pol, die Poldistanz, ist für alle Punkte eines Parallelkreises gleich; der Pol erscheint daher als der sphärische Mittelpunkt des Parallelkreises.

Kugelabschnitt - Kügel

Für den Äquator ist die Poldistanz 90°. Die verschiedenen Lagen des rotierenden Halbkreises bilden die Meridiane der Kugel. Der Meridianbogen von einem bestimmten Punkt bis zum Äquator ist die Breite [* 6] dieses Punktes, er ergänzt die Poldistanz zu 90°. Wird ein bestimmter Meridian als erster angenommen, so gibt der Winkel zwischen diesem Meridian und einem beliebigen andern die Länge für alle Punkte des letztern an; dieselbe wird gemessen durch den Äquatorbogen zwischen beiden Meridianen. Zwei Parallelkreise begrenzen auf der Kugelfläche eine Zone, ihre Ebenen schneiden aus der Kugel eine körperliche Zone aus. Höhe der Zone ist das Stück der Achse zwischen beiden Parallelkreisen. Schrumpft der eine Parallelkreis in einem Punkte, dem Pol, zusammen, so geht die Zone ¶

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in einen Kugelabschnitt, ein Kugelsegment oder eine Kalotte (Kugelhaube) über. Sphärisches Zweieck oder Kugelzweieck heißt die Fläche zwischen zwei Meridianen oder überhaupt zwischen zwei größten Kreisen; sein Verhältnis zur ganzen Kugelfläche wird durch den Winkel, den beide Kreise oder ihre Ebenen einschließen, bestimmt. Werden drei Punkte auf der Kugel durch Bogen größter Kreise verbunden, so entsteht ein sphärisches oder Kugeldreieck; die Bogen, gemessen im Gradmaß, sind die Seiten desselben.

Triforium - Trigonomet

Zwei Seiten sind zusammen stets größer als die dritte, die Summe aller drei Seiten aber liegt zwischen Null und vier rechten Winkeln. Die Summe der drei Winkel liegt zwischen zwei und sechs rechten Winkeln; der Überschuß der Winkelsumme über zwei rechte Winkel heißt der sphärische Exzeß. Wenn von den genannten sechs Stücken (Seiten und Winkeln) drei gegeben sind, so sind die übrigen bestimmt; dieselben durch Rechnung zu finden, ist die Aufgabe der sphärischen Trigonometrie. [* 8] Bedeutet r den Radius der Kugel, so gelten für die Oberfläche derselben folgende Formeln:

1) Die ganze Oberfläche der Kugel ist 4r²π, also viermal so groß als die Fläche des Äquators.

2) Die Oberfläche einer Zone und ebenso einer Kalotte von der Höhe h ist 2rπh.

3) Die Fläche eines Zweiecks, dessen Winkel w° mißt, ist 4r²π(w/360).

4) Die Fläche eines sphärischen Dreiecks mit den Winkeln α, β, γ ist

(α + β + γ - 180°) r²π/180.

Um für astronomische Zwecke die Fläche der Kugel und ihre Teile in Quadratgraden (q°) auszudrücken, setzt man

180/π statt r und 180.h/rπ statt h

und findet dann die ganze Kugelfläche = 41,252,96 q°, die Fläche der Zone = 20,626,48 . h/r, die des Zweiecks = 114,5916 . w und die des sphärischen Dreiecks =

(α + β + γ - 180°) . 57,2958 q°.

Für die Volumina gelten folgende Regeln:

5) Der Inhalt der ganzen Kugel ist ⁴/3 r³π.

6) Der Inhalt einer körperlichen Zone von der Höhe h, welche am Äquator beginnt, ist r²πh - ⅓ h³π.

7) Sind allgemein a und b die Halbmesser der beiden Parallelkreise, so ist der Inhalt der Zone hπ/6 (3a² + 3b² + h²); für den Kugelabschnitt wird b = 0, also der Inhalt = hπ/6 (3a² + h²).

8) Aus der Oberfläche F findet man den Halbmesser r und den Inhalt K der Kugel mittels der Formeln r = ^[img], K = ^[img].

9) Aus dem Inhalt K findet man dagegen r = ^[img] und F = ^[img]. In diesen Formeln ist π die Ludolfsche Zahl = 3,1415927 (s. Kreis).

Kreuz (religiöses Symb

Oft erscheint die als Symbol der Erdkugel, mit einer Siegesgöttin geschmückt, unter den Füßen des römischen Adlers, in späterer Zeit ein Kreuz [* 9] tragend. Diese Erdkugel mit und ohne Kreuz bildete sich allmählich als Reichsapfel aus, und so erscheint sie in der Hand [* 10] der deutschen Kaiser etc. und in vielen neuern Wappen. [* 11] Über als Teil der Munition für Schießwaffen s. Geschoß [* 12] und Munition.