Krümmung.
Die Krümmung
einer
Kurve ist ein mathematisch definierbarer
Begriff, der durch Vergleichung mit der konstanten
Krümmung
eines Kreisbogens erhalten wird; dieser erscheint um so flacher, je größer der zugehörige Radius ist.
Legt man durch drei beliebige Punkte einer
Kurve einen
Kreis
[* 3] und variiert diesen so, daß alle drei in
einen Kurvenpunkt zusammenfallen, so erhält man einen Krümmung
skreis. Zwei unendlich nahe Normalen der
Kurven schneiden
sich im Krümmung
smittelpunkt. Das
Maß der in einem Kurvenpunkt ist dem reciproken Krümmung
sradius
(Ankylometer) gleich.
Der
Ort der Krümmung
smittelpunkte einer ebenen
Kurve heißt Evolute (s. d.). - Vollzieht man obige Konstruktion an
einer Raumkurve und zwar in einer Schmiegungsebene derselben, so erhält man den Oskulationskreis eines Kurvenpunktes mit
dem Radius der ersten Krümmung.
Dieser Radius läßt sich auch als Quotient des Bogenelements, dividiert durch den
von zwei unendlich nahen
Tangenten gebildeten Winkel,
[* 4] definieren. Im Anschluß hieran heißt der Quotient des Bogenelements,
dividiert durch den von zwei unendlich nahen Schmiegungsebenen gebildeten Winkel, der Radius der zweiten
Krümmung
Verschwindet diese zweite Krümmung, d. h. wird der zugehörige Radius
unendlich groß, so ist die
Kurve eben. Verschwindet
die erste Krümmung
, so ist die
Kurve eine Gerade. - Bei einer
Fläche sind die
Krümmung
aller durch einen Punkt gehenden ebenen Schnitte zu betrachten.
Doch ist nach einem von Meusnier gegebenen
Satze der Krümmung
sradius
eines schiefen Schnittes gleich der Projektion
[* 5] des Krümmung
sradius
desjenigen Normalschnittes, der mit ihm dieselbe
Tangente hat; sonach sind nur diejenigen Schnitte in Betracht zu ziehen,
welche die Flächennormale enthalten. Unter allen diesen Normalschnitten giebt es (nach Euler) im allgemeinen
einen, dem die größte, und einen, dem die kleinste Krümmung
entspricht, die sog. Hauptschnitte.
Daneben giebt es indessen Flächenpunkte, bei denen ausnahmsweise alle Krümmung
sradien einander gleich sind, die sog.
Nabel- oder Kreispunkte.
Das reciproke Produkt der beiden Hauptkrümmung
sradien heißt nach Gauß das Krümmungsmaß. Ist dasselbe
positiv, so ist die
Fläche in
Bezug auf ihre Tangentialebene in demselben
Sinne gekrümmt, wie z. B. bei der
Kugel oder dem
Ellipsoid;
[* 6] ist es aber negativ, so haben die Hauptkrümmung
sradien entgegengesetztes
Vorzeichen, wie z. B. bei dem hyperbolischen
Paraboloid oder den Minimalflächen. Solche
Flächen heißen Sattelflächen.
Flächen, deren Krümmungsmaß
beständig null
ist, heißen abwickelbare
Flächen. (S.
Abwickelbar; vgl. auch Indikatrix.)