Krümmung.
Durch drei
Punkte einer ebenen krummen
Linie läßt sich stets ein
Kreis
[* 2] legen. Denkt man sich einen der
drei
Punkte
fest = P und läßt die beiden andern immer näher an ihn heranrücken und endlich mit ihm zusammenfallen, so geht
der
Kreis über in den
Oskulations- oder Krümmung
skreis des
Punktes P. Es ist dies unter den verschiedenen Berührungskreisen,
die alle im
Punkt P die
Tangente mit der krummen
Linie gemein haben, derjenige, welcher sich am innigsten
an die
Kurve anschließt.
Sein
Mittelpunkt liegt auf der
Normalen, d. h. auf der
Geraden, welche
man in P senkrecht auf der
Tangente
der
Kurve errichten kann, und heißt der Krümmung
smittelpunkt; sein
Halbmesser wird der Krümmung
shalbmesser genannt. Errichtet
man in zwei
Punkten P und P' der
Kurve die
Normalen, welche sich in R schneiden und den
Winkel
[* 3] t einschließen,
und ist der
Bogen
[* 4]
P P' = σ,
¶
mehr
so ist mit um so größerer Genauigkeit σ = RP . τ = RP' . τ, je kleiner PP' ist, und daher RP = σ/τ, wobei σ als Bogen
eines Kreises vom Halbmesser A ausgedrückt ist (180° = π, 1° = π/180 etc., s.
Kreis). Daher ist der Krümmung
shalbmesser ρ gleich dem Grenzwert, den σ/τ annimmt, wenn σ und τ in
Null übergehen. Die Berechnung dieses Wertes ist Gegenstand der Differentialrechnung.
[* 6] Da die Krümmung
eines Kreises um so geringer
ist, je größer sein Halbmesser, so betrachtet man als Maß der Krümmung
einer ebenen Kurve die Einheit, dividiert durch den Krümmung
shalbmesser.
Handelt es sich um eine Kurve im Raum, deren Punkte nicht in einer Ebene liegen, so kann man durch drei Punkte derselben eine
Ebene und in dieser einen Kreis legen. Läßt man die drei Punkte zusammenfallen, so geht die Ebene in die Oskulations- oder Schmiegungsebene,
der Kreis in den Krümmung
skreis über; der reciproke Wert des letztern ist das Krümmungsmaß für die
erste Krümmung
der Kurve. Eine solche Kurve hat aber noch eine zweite Krümmung:
denken wir uns für zwei benachbarte Punkte P und P' die
Oskulationsebenen konstruiert, welche einen Winkel τ' einschließen, so ist der Wert, dem τ'/(PP') sich unbegrenzt
nähert, wenn Zähler und Nenner zugleich in Null übergehen, das Maß für die zweite Krümmung
oder für die Torsion (Windung). Deshalb
heißen auch solche Kurven gewundene Kurven oder Kurven doppelter Krümmung.
- Die Krümmung der krummen Flächen endlich beurteilt man nach
der Krümmung
ihrer Normalschnitte, d. h. der Schnitte, deren Ebenen senkrecht auf der Tangentialebene eines Punktes
P der Fläche stehen. Unter diesen Schnitten hat einer in P den größten Krümmung
sradius ρ, der darauf rechtwinkelige aber
den kleinsten ρ'; Krümmungsmaß für die Fläche ist dann nach Gauß 1/(ρρ').