Goniometrische
Funktionen, das Hilfsmittel, aus den Bestimmungsstücken eines Dreiecks die übrigen Stücke durch Rechnung zu finden; bilden dadurch die Grundlage der Trigonometrie (s. d.). Die Goniometrische Funktionen stellen Beziehungen dar zwischen den Winkeln und den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, und zwar hat man bei Aufstellung dieser Beziehungen den Umstand benutzt, daß durch die Veränderung der spitzen Winkel eines solchen Dreiecks eine ganz bestimmte Änderung der Verhältnisse je zweier Seiten eintritt, sodaß man diese Seitenverhältnisse als Funktionen der Winkel betrachtet und mit dem Namen Goniometrische Funktionen oder Winkelfunktionen belegt. In beistehender [* 1] Figur ist ein rechtwinkliges Dreieck dargestellt, in welchem ein spitzer Winkel mit α, die Hypotenuse mit h, die dem Winkel α anliegende Kathete mit a, die ihm gegenüberliegende mit g bezeichnet ist. Man nennt nun:
das | Verhältnis | g | den Sinus von α (sin α), |
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h
" | " | a | den Kosinus von α (cos α), |
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h
" | " | g | die Tangente von α (tan α od. tg α), |
---|---|---|---|
a
" | " | h | die Kosekante von α (cosec α), |
---|---|---|---|
g
das | Verhältnis | h | die Sekante von α (sec α), |
---|---|---|---|
a
" | " | a | die Kotangente von α (cot α). |
---|---|---|---|
g
Zwischen diesen Goniometrische Funktionen, von denen meist nur die drei ersten gebraucht werden (die drei letzten sind die reciproken Verhältnisse der drei ersten), finden folgende beiden Beziehungen statt:
sin α = tg α • cos α | und | |||
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sin2α + cos2α = 1, | ||||
durch welche es unter Zuhilfenahme der erwähnten Reciprocität möglich ist, jede der sechs Goniometrische Funktionen des Winkels α aus jeder andern zu berechnen. Für die Funktionen von Winkelsummen und -Differenzen gilt:
sin (α ± β) = | sin α • cos β ± cos α • sin β | |||
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cos (α ± β) = | cos α • cos β ± sin α • sin β | |||
tg (α ± β) = | tg α ± tg β | |||
1 + tg α • tg β | ||||
Die G. F., die auch einen Gegenstand der allgemeinen Funktionentheorie darstellen, lassen sich in Reihen entwickeln.
Es ist
sin x = x – | x3 | + | x5 | – | x7 | + ..., | ||
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3! | 5! | 7! | ||||||
cos x = 1 – | x2 | + | x4 | – | x6 | + ..., | ||
2! | 4! | 6! | ||||||
tg x = x + | x3 | + | 2x5 | + | 17x7 | + | 62x9 | + ..., |
3 | 3•5 | 32•5•7 | 33•5•7•9 |
worin ! das Zeichen für Fakultät (s. d.) ist.
Die Umkehrung der Goniometrische Funktionen sind die Cyklometrischen Funktionen (s. d.).