Goniometrische
Funktionen
, das Hilfsmittel, aus den Bestimmungsstücken eines Dreiecks die übrigen
Stücke durch
Rechnung
zu finden; bilden dadurch die Grundlage der
Trigonometrie
[* 2] (s. d.). Die Goniometrische Funktionen
stellen
Beziehungen dar zwischen den Winkeln und
den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, und zwar hat man bei
Aufstellung dieser
Beziehungen den Umstand
benutzt, daß durch die
Veränderung der spitzen Winkel
[* 3] eines solchen Dreiecks eine ganz bestimmte Änderung der Verhältnisse
je zweier Seiten eintritt, sodaß man diese Seitenverhältnisse als Funktionen
der Winkel betrachtet und mit dem
Namen Goniometrische Funktionen
oder
Winkelfunktionen
belegt. In beistehender
[* 1]
Figur ist ein rechtwinkliges Dreieck
[* 4] dargestellt,
in welchem ein spitzer Winkel mit α, die
Hypotenuse mit h, die dem Winkel α anliegende
Kathete mit a, die ihm gegenüberliegende
mit g bezeichnet ist. Man nennt nun:
das | Verhältnis | g | den Sinus von α (sin α), |
---|---|---|---|
h
" | " | a | den Kosinus von α (cos α), |
---|---|---|---|
h
" | " | g | die Tangente von α (tan α od. tg α), |
---|---|---|---|
a
" | " | h | die Kosekante von α (cosec α), |
---|---|---|---|
g
das | Verhältnis | h | die Sekante von α (sec α), |
---|---|---|---|
a
" | " | a | die Kotangente von α (cot α). |
---|---|---|---|
g
Zwischen diesen Goniometrische Funktionen
, von denen meist nur die drei ersten gebraucht werden
(die drei letzten sind die reciproken Verhältnisse der drei ersten), finden folgende beiden
Beziehungen statt:
sin α = tg α • cos α | und | |||
---|---|---|---|---|
sin2α + cos2α = 1, | ||||
durch welche es unter Zuhilfenahme der erwähnten Reciprocität möglich ist, jede der sechs Goniometrische Funktionen
des
Winkels α aus jeder andern zu berechnen. Für die Funktionen
von Winkelsummen und -Differenzen gilt:
sin (α ± β) = | sin α • cos β ± cos α • sin β | |||
---|---|---|---|---|
cos (α ± β) = | cos α • cos β ± sin α • sin β | |||
tg (α ± β) = | tg α ± tg β | |||
1 + tg α • tg β | ||||
Die G. F., die auch einen Gegenstand der allgemeinen Funktionen
theorie darstellen, lassen sich in Reihen entwickeln.
Es ist
sin x = x – | x3 | + | x5 | – | x7 | + ..., | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3! | 5! | 7! | ||||||
cos x = 1 – | x2 | + | x4 | – | x6 | + ..., | ||
2! | 4! | 6! | ||||||
tg x = x + | x3 | + | 2x5 | + | 17x7 | + | 62x9 | + ..., |
3 | 3•5 | 32•5•7 | 33•5•7•9 |
worin ! das Zeichen für Fakultät (s. d.) ist.
Die
Umkehrung der Goniometrische Funktionen
sind die Cyklometrischen Funktionen (s. d.).