Geometrie

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Geometrie

(griech., »Erdmessung«) bezeichnete ursprünglich s. v. w. Feldmeßkunst. Aber sehr bald wurde der Inhalt reicher, und bereits Platon klagte, daß die »so herrliche und ausgedehnte Wissenschaft des Raums einen so ungeschickt gewählten Namen führe«. Gegenwärtig verstehen wir unter Geometrie ganz allgemein die Lehre [* 2] von den räumlichen Gebilden. Da nun aber diese sehr verschiedener Art sein können, unterscheidet man verschiedene Unterabteilungen der geometrischen Wissenschaft; eine andre Reihe von Unterscheidungen wird herbeigeführt durch die verschiedene Betrachtungsweise der räumlichen Objekte.

Geometrie (Geschichte)

Die theoretische Geometrie, welche von allen Anwendungen auf wirklich vorhandene Dinge absteht und den Körper lediglich als allseitig begrenztes Raumstück (ohne Rücksicht auf dessen materielle Beschaffenheit) betrachtet, teilt sich zunächst ein in Geometrie von einer, zwei, drei Dimensionen oder Geometrie der Linie (Longimetrie), der Ebene (Planimetrie) und des Raums (Stereometrie). Die Betrachtung der nicht ebenen (doppelt gekrümmten) Kurven und Flächen gehört mit zur Stereometrie. Untersucht man aber die Eigenschaften der räumlichen Gebilde ¶

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einmal in Bezug auf die Größe, das andre Mal in Bezug auf die Lage, so erhält man einerseits eine Geometrie des Maßes (der metrischen Relationen), anderseits eine Geometrie der Lage. Erstere war bis ins 17. Jahrh. die einzig gepflegte, und erst von da ab begann man auch den zweiten Zweig zu kultivieren, welcher wohl auch als neuere, projektivische, organische Geometrie bezeichnet wird. In neuester Zeit pflegt man wohl auch eine besondere »Geometrie der Anzahl« abzutrennen, zu deren Charakterisierung folgendes Beispiel dienen möge: in einer Ebene sind n willkürlich gezogene gerade Linien gegeben, in wieviel Punkten durchschneiden sich dieselben? Alle Fragen, welche sich auf den Zusammenhang der räumlichen Gebilde beziehen, pflegen in eine besondere Disziplin vereinigt zu werden, die sogen. Analysis situs.

Kreiden - Kreis

Was die Einteilung der in eine niedere oder elementare und höhere betrifft, so ist dieselbe nicht prinzipiell, sondern nur durch pädagogische Gründe gerechtfertigt. Erstere behandelt in der Ebene die gerade Linie und den Kreis, [* 4] letztere alle übrigen krummen Linien. Im Raum sind analog die Ebene, die Kegel-, Cylinder- und Kugelfläche der elementaren Betrachtung zugänglich, alle andern Oberflächen sowie die Kurven doppelter Krümmung aber Objekte der höhern Geometrie. Was nun schließlich die Methoden anlangt, mit deren Hilfe man die Eigenschaften der Raumgrößen zu erforschen bestrebt ist, so unterscheidet man eine synthetische und eine rechnende oder analytische Geometrie. Die synthetische verwirft grundsätzlich alle Hilfsmittel des Kalküls und bedient sich allein der Konstruktion; da sich auf diese Weise die von der Größe unabhängigen Beziehungen besonders leicht studieren lassen, so trägt die Geometrie der Lage einen streng synthetischen Charakter. Im Raum wird eine rein konstruktive Behandlung der komplizierten gestaltlichen Verhältnisse halber oft sehr schwierig, und man bedient sich dann, um die Anschauung zu erleichtern, eines eignen geometrischen Wissenszweigs, der sogen. deskriptiven (beschreibenden oder darstellenden) Geometrie oder Projektionslehre, welche die Betrachtung räumlicher auf diejenige ebener Gebilde reduziert.

Programmmusik - Projek

Hierher gehören: die Perspektive, die Projektion [* 5] auf zwei senkrechte Ebenen (darstellende Geometrie im engern Sinn), die Axonometrie etc. Die synthetische Geometrie kam besonders durch die klassischen Arbeiten der griechischen Mathematiker zu Ehren, welche ausschließlich in diesem Sinn arbeiteten und sogar jeden arithmetischen Satz in geometrischer Form darzustellen liebten. Ganz anders war das Verfahren der Inder, welche sich um Lagebeziehungen gar nicht kümmerten und die Geometrie als ein Anhängsel der Arithmetik behandelten. Ihnen verdankt die rechnende Geometrie ihre Entstehung, welche, von den Arabern wesentlich gefördert, im 16. und 17. Jahrh. die Synthese fast ganz verdrängte. - Man unterscheidet in der Regel eine algebraische und eine analytische Geometrie, obwohl dieser Unterschied ein rein konventioneller ist.

Windvogel - Winkel

Erstere hat die allgemeine Aufgabe zu lösen, aus den bekannten Stücken einer [* 3] Figur die noch nicht bekannten zu berechnen und die Bedingungen festzustellen, unter welchen eine solche Berechnung möglich ist. Befinden sich unter diesen Stücken Winkel, [* 6] so muß auf eine Hilfswissenschaft, die Trigonometrie [* 7] (s. d.), zurückgegriffen werden, welche in einem vorbereitenden Teil, der sogen. Goniometrie, die Beziehungen normiert, nach welchen Winkel und Längen verglichen werden können.

Was die Trigonometrie für das Dreieck [* 8] ist, das sind Polygonometrie und Polyedrometrie für das ebene Polygon und für das Polyeder. [* 9] Die algebraische Geometrie besitzt zur Auflösung der ihr gestellten Probleme allerdings gewisse ein für allemal feststehende Formeln, nicht aber einen unveränderlichen Mechanismus, welchem sich jeder spezielle Fall ohne weiteres einordnen ließe. Einen solchen hat aber die analytische in ihren Koordinatensystemen (vgl. Koordinaten). [* 10] Sie eignet sich besonders zur Untersuchung der krummen Linien und Oberflächen, so daß man häufig die Begriffe »analytische Geometrie der Ebene« und Kurvenlehre als identisch betrachtet.

Der theoretischen Geometrie steht die praktische gegenüber, welche sich mit der Anwendung auf wirklich vorhandene Gegenstände beschäftigt. Gewöhnlich rechnet man die Ausmessung und Berechnung von Flächen und Körpern nicht zur praktischen Geometrie, sondern bezieht jene ausschließlich auf solche Objekte, welche in Einer Ebene liegen. Sobald jedoch die auszumessenden Flächen eine Größe erreichen, welche es nötig macht, die Krümmung der Erdoberfläche zu berücksichtigen, tritt an die Stelle der gewöhnlichen praktischen Geometrie die höhere, die Geodäsie (s. d.).

Geschichte der Geometrie.

Die Erfindung der Geometrie verliert sich in die vorhistorische Zeit. Jedenfalls war sie zunächst ausschließlich empirisch betriebene Feldmeßkunst, und erst allmählich sah man die Notwendigkeit ein, ihr ein theoretisches Fundament zu geben. Über die Art und Weise, wie sich dieser Fortschritt vollzog, gibt uns in interessantester Weise die Geometrie der Ägypter Aufschluß, welche wir teils aus Denkmalsinschriften, teils aus überlieferten Papyrusrollen (darunter besonders der hochwichtige Papyrus Rhind, das vollständige Vademekum eines Feldmessers des 4. Jahrtausends v. Chr.) ziemlich genau kennen.

Ägypten etc

Neben dieser praktischen Geometrie bildete sich in den Priesterschulen des Nillandes eine wissenschaftliche Raumlehre heran, wie denn von verschiedenen alten Autoren die geometrische Richtung des ägyptischen im Gegensatz zu der arithmetischen des babylonischen Volkes ausdrücklich hervorgehoben wird. Als dann in den griechischen Stämmen der wissenschaftliche Trieb erwachte, stellte sich die Notwendigkeit heraus, die benachbarten orientalischen Kulturländer zu besuchen und dort sich so viel Wissen anzueignen, als nationale Engherzigkeit gestatten wollte. So lernte im 7. Jahrh. v. Chr. Thales von Milet in Ägypten [* 11] Sonnenfinsternisse vorherbestimmen und eignete sich eine Reihe elementarer geometrischer Lehrsätze an, mit deren Hilfe er für den Hafen seiner Vaterstadt einen einfachen Distanzmesser konstruierte.

Nach ihm waren es die ionischen Philosophen, welche die Geometrie pflegten und erweiterten. Vor allen aber ist Pythagoras zu nennen (568-470). Zur Zeit des Peloponnesischen Kriegs gab Hippokrates von Chios die erste Quadratur einer krummlinigen [* 3] Figur (der sogen. Monde), löste das Problem der zwei mittlern Proportionallinien und schrieb zuerst Elemente der Geometrie. Ungefähr um dieselbe Zeit behandelten die Sophisten Antiphon und Bryson das Problem der Kreisquadratur in ganz rationeller Weise.

Geometrie (Geschichte)

Platon (429-348), welcher keinen der Geometrie. Unkundigen zu seinen Vorlesungen zulassen wollte, suchte der jungen Disziplin die ihr noch fehlende systematische Grundlage zu geben und schuf oder förderte doch wesentlich die Lehre vom Irrationalen und von den Kegelschnitten. Unter seinen unmittelbaren Nachfolgern ragen besonders hervor Hippias, der für die Aufgabe von der Kreisquadratur eine eigne transcendente Kurve, die Quadratrix, ersann, sowie Menächmos und Aristäos. Das 3. Jahrh. v. Chr. ist die eigentliche Blütezeit der hellenischen ¶

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Geometrie, ihm gehört das glänzende Dreigestirn Eukleides (um 300), Apollonios (um 200) und Archimedes (287-212) an. Der erstgenannte verfaßte die uns erhaltenen »Elemente der Geometrie«, welche bis auf die neueste Zeit als Muster eines Lehrbuches galten. Außerdem erweiterte er die Wissenschaft durch mehrere selbständige Werke, von denen wir die »Data« noch besitzen, während die »Porismen« (nach Chasles' Auffassung die analytische Geometrie der Alten) verloren sind. Apollonios bereicherte die noch junge Lehre von den Kegelschnitten durch eine Reihe der schönsten Erfindungen.

Menenius Agrippa - Men

Archimedes endlich gründete die Elemente der Mechanik auf geometrische Gesetze und löste annähernd die Aufgabe von der Rektifikation des Kreises. In demselben Jahrhundert lebten auch Eratosthenes (geb. 276), der die erste Gradmessung [* 13] vornahm, und Heron, von dem die schöne Formel für den Inhalt eines Dreiecks durch seine drei Seiten herrührt. Er war auch der erste, der die praktische Geometrie wissenschaftlich bearbeitete. Mit ihm schließt die eigentliche Glanzzeit der griechischen ab. Doch sind noch viele bedeutende Namen auch in der folgenden Periode zu nennen, so Hipparch (um 140), der wahrscheinliche Begründer der sphärischen Trigonometrie, Theodosios (um 100), der über die Kugel schrieb, u. a. Aus der Zeit nach Christi Geburt führen wir an Menelaos [* 14] und vor allen den Astronomen Ptolemäos, dessen Blütezeit mit der Regierung des Kaisers Hadrian zusammenfällt.

Ihm verdankt sowohl die sphärische als die ebene Trigonometrie ihre systematische Begründung. Von spätern Geometern sind zu erwähnen Pappos (im 3. Jahrh. n. Chr.), dessen »Mathematische Sammlungen« ein kostbares Denkmal der ältern griechischen Mathematik bilden, und der Neuplatoniker Proklos (um 450), dessen philosophisch-historischer Kommentar zu einem Teil des Eukleides noch heute nicht ohne Wert ist. Noch später lebte Eutokios, der Erklärer des Archimedes.

Von den dem Mittelalter angehörenden griechischen Geometern nennen wir Psellos, Moschopulos und Pediasimos, welch letzterer einen Lehrbegriff der elementaren Geometrie abfaßte. Bei den Römern fand die Geometrie nur insoweit Beachtung, als man ihrer für die Bedürfnisse des täglichen Lebens unmittelbar bedurfte. Statt wissenschaftlicher Mathematiker gab es demnach ausschließlich Feldmesser, deren uns erhaltene Schriften den handwerksmäßigen Standpunkt der Mehrzahl klar hervortreten lassen. Eine rühmliche Ausnahme macht allein der Hydrotechniker Julius Frontinus. Auf einem höhern Standpunkt steht die (allerdings in ihrer Echtheit vielfach angefochtene) Geometrie des Boethius (gest. 524), der letzte Schlußstein römisch-griechischer Kultur vor der hereinbrechenden Barbarei des Mittelalters.

Die folgenden fünf Jahrhunderte können wir völlig aus der Geschichte der Geometrie streichen; was man allenfalls noch wußte, ersehen wir aus der von Alkuin für Karls d. Gr. Schulen verfaßten Beispielsammlung, die womöglich noch unter den römischen Standpunkt heruntergeht. Erst in der Geometrie des Franzosen Gerbert (gest. 1002) finden wir wieder Spuren selbständigen Denkens. Bald darauf begannen mit Atelhart von Bath und Gerhard von Cremona (1114-1187) die Übersetzungen der griechischen Geometrie. Einen höchst wesentlichen Fortschritt bekundet die »Practica geometriae« des Leonardo Fibonacci (1220),

dem die Algebra so viel verdankt. Campanus lieferte eine verbesserte Bearbeitung des Eukleides. Als die bedeutendsten Geometer des Mittelalters sind jedoch Nikolaus Oresme (gest. 1389),

der in seinen »Latitudines« bereits den Koordinatenbegriff des Descartes antizipierte, und Thomas v. Bradwardine, Urheber einer scharfsinnigen Theorie der Sternpolygone (um 1340), zu erwähnen.

Im Osten besaßen die Chinesen schon in der Zeit vor Christo tüchtige geometrische Kenntnisse, wie sie denn ein auf das rechtwinkelige Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 basiertes Meßinstrument kannten. An sie schließen sich die Inder an, deren erster bekannter Astronom, Aryabhatta (um 450 n. Chr.), bereits als tüchtiger Mathematiker gerühmt wird. Der hervorragendste indische Geometer ist aber Brahmegupta, dessen um 628 erschienene in einer Reihe eleganter Betrachtungen über solche Vierecke gipfelt, welche sich aus rationalen Zahlen bilden lassen.

Kegelschnitte - Kegels

Vier bis fünf Jahrhunderte später lebte Bhaskara Acharya, dessen Werke eine bedeutende Ausbildung der indischen Trigonometrie bekunden. Aus indischen und griechischen Quellen entnahmen die Araber ihre wissenschaftlichen Kenntnisse und verschmolzen beides zu einem eigenartigen Ganzen. Mathematisch Neues leisteten dieselben vor allem in der Trigonometrie, wo sie die unbehilflichen Sehnen der Griechen abschafften und nach indischer Art mit Sinus und Kosinus rechneten; ja, Ibn Junis erfand um 1000 n. Chr. sogar die Tangenten. Omar Alkhayami lehrte kubische Gleichungen durch Kegelschnitte [* 15] konstruieren, und der Marokkaner Ibn Haitham (Alhazen) ging in seiner geometrischen Optik weit über seine griechischen Vorbilder hinaus.

Die ersten Schriften, welche der Occident beim Wiedererwachen der Wissenschaft kennen lernte, waren arabischen Ursprungs. Hierzu kam allmählich die durch den Fall von Byzanz (1453) so wesentlich geförderte Kenntnis der griechischen Originale, deren Verbreitung die eben erfundene Buchdruckerkunst großen Vorschub leistete. Die bedeutendsten Geometer dieser Periode sind der Astronom Peurbach (1423-61) und sein großer Schüler Regiomontanus (1436-76), welch letzterer besonders die Trigonometrie förderte. In deutscher Sprache [* 16] schrieben der Baumeister Roriczer (1486) und der Maler Albrecht Dürer (1525) über Geometrie. Das 16. Jahrh. sah die großartige Entwickelung der Trigonometrie durch Kopernikus, Rheticus, Pitiscus u. a.; der jüngere Apian bezeichnet durch seine meisterhafte Karte von Bayern [* 17] eine neue Epoche in der Geschichte der praktischen Geometrie, und am Ausgang des Jahrhunderts finden wir die Niederländer Stevin, Girard und Snellius, den Erfinder der Triangulationsmethode, sowie den Franzosen Vieta. Im J. 1615 schrieb der Astronom Kepler seine tiefsinnige »Geometrie der Fässer«, in welcher er die ersten Keime zu einer Geometrie unendlich kleiner Größen niederlegte. In ähnlichem Sinn arbeiteten die Italiener Cavalieri (1598-1647) und der Franzose Roberval (1602-1675), vor allen aber der berühmte Fermat (1601-1665), der auch mit dem Wesen der rechtwinkeligen Koordinaten bereits vertraut war. Um dieselbe Zeit ließen Desargues (1593-1662) und Pascal (1623-1662) die reine Geometrie im Sinn der Alten wieder aufleben.

Den wichtigsten Fortschritt bezeichnet jedoch Descartes (1596-1650), der eigentliche Schöpfer der analytischen in dessen Fußstapfen nun fast alle zeitgenössischen Gelehrten traten, von denen wir besonders den Niederländer Huygens (1629-95) namhaft machen, den seine Untersuchungen über die Pendeluhr auf die Lehre von den Evoluten leiteten. Die höhere Kurvenlehre bildeten noch Wallis (1616-1703), Barrow (1630-77), Tschirnhaus (1651-1708) weiter aus und legten so den Grund zu der nun ¶