Funktion
(lat.), Thätigkeit, Verrichtung, besonders amtliche;
auch Verrichtung eines körperlichen Organs;
funktion
ieren
(fungieren), Amtsgeschäfte verrichten, in Funktion
sein;
Funktionär
, einer, der in Funktion
begriffen ist. In einem besondern
Sinn wird
das
Wort in der
Mathematik gebraucht. Um denselben verständlich zu machen, ist zunächst der
Begriff einer
stetig veränderlichen
Größe (einer
Variabeln) zu erklären.
Man versteht unter einer solchen eine
Größe, welche alle innerhalb
eines bestimmten
Intervalls gelegenen
Werte successive annehmen kann, ohne beim Übergang von einem Wert zum andern irgend
einen dazwischenliegenden zu überspringen, im
Gegensatz zu einer konstanten
Größe, welche einen bestimmten
Wert unter allen Umständen behauptet. Sind nun beliebig viele veränderliche
Größen mit
Konstanten durch eine (algebraische
oder transcendente)
Gleichung verbunden, so sagt man, jede dieser Veränderlichen sei eine Funktion
der übrigen, und schreibt,
wenn x, y, z, v,... die veränderlichen
Größen bedeuten, x = f(y, z, v,...), F(x, y, z, v,...) = 0.
Hat man
bloß zwei Veränderliche, so kann man die Funktion
geometrisch durch eine ebene
krumme Linie darstellen, indem der
Abscisse x eine
oder eine
Reihe von
Ordinaten y entspricht. Ebenso entspricht einer Funktion
von drei Veränderlichen eine Oberfläche; bei mehr
als drei Veränderlichen aber muß man auf das geometrische
Bild verzichten. Bei einer Funktion
von n variabeln
Größen läßt sich, wenn für (n-1) derselben die
Werte bekannt sind, die noch übrige nte berechnen; ist z. B. in der drei
Variable enthaltenden Funktion:.
F(x, y, z) = x²+y²+z²-a² = 0
x = y = 0, so ist z = ±a.
Geometrisch würde dies heißen: zieht man durch den
Mittelpunkt einer
Kugel
eine
Gerade bis zur Kugelfläche, so wird dieselbe in diesem
Punkt halbiert. Die neuere
Wissenschaft vermochte mit dieser
Definition,
wie sie zuerst von
Euler aufgestellt wurde, nicht auszureichen. Es möge, um dies zu erläutern, an folgendes
Beispiel aus
der
Physik erinnert werden. Man weiß, daß jedem Temperaturgrad ein ganz bestimmtes
Maß der
Spannkraft des Wasserdampfs entspricht;
in diesem
Sinn ist also
letztere eine Funktion
der
Temperatur, und trotzdem hat es noch nicht gelingen wollen, eine den Zusammenhang
beider darstellende analytische
Formel auszumitteln.
Man sagt deshalb jetzt mit
Lejeune-Dirichlet: die
Variable y ist dann eine Funktion
der
Variabeln x, wenn zu jedem
bestimmten Wert von x innerhalb eines gewissen
Intervalls ein bestimmter Wert von y sich angeben läßt.
Vgl.
Hankel, Über
die unendlich oft oszillierenden und unstetigen Funktionen
(Tübing. 1870);
Weierstraß, Abhandlungen aus der Funktion
enlehre
(Berl. 1886).
Die besten Lehrbücher des ganz neu erstandenen
Zweigs der
Mathematik, der Funktion
entheorie, welcher besonders
durch
Cauchy und
Riemann ins
Leben gerufen wurde, sind: Neumann, Vorlesungen über
Riemanns
»Theorie der Abelschen
Integrale« (Leipz.
1865);
Thomä, Abriß einer
Theorie der komplexen Funktionen
(2. Aufl.,
Halle
[* 2] 1873);
Durège,
»Theorie der Funktionen
einer
komplexen veränderlichen
Größe« (3. Aufl., Leipz. 1882);
Casorati, Teorica delle funzioni di variabili complesse (Pavia 1870);
Du Bois-Reymond, Allgemeine Funktion
entheorie
(Tübing. 1882, Bd. 1).