Ellipse

Ellipse

[* 1] (griech.), in der Grammatik Auslassung eines zur Vollständigkeit der Rede notwendigen, aber durch den grammatischen Zusammenhang leicht zu ergänzenden Satzteils. Diese [* 1] Figur bildet sich leicht beim aufgeregten Redner, wird aber auch in schriftlichen Arbeiten mit Absicht angewendet, um bedeutsamen Vorstellungen auf Kosten der minder bedeutenden, indem man sie wegläßt, einen kräftigern Ausdruck zu geben. Am häufigsten findet man sie in den militärischen Kommandoworten, bei Sprichwörtern u. dgl. Vgl. Aposiopesis.

Kooperative Associatio

In der Mathematik heißt Ellipse derjenige der drei Kegelschnitte, [* 2] dessen numerische Exzentrizität &epsilon; < 1 ist. Sie bildet eine geschlossene krumme Linie, welche durch die Achsen A'A = 2a und B'B = 2b [* 1] (Fig. 1 u. 2) in vier symmetrische Teile zerlegt wird. Nimmt man diese Achsen als Koordinatenachsen, so besteht zwischen den Koordinaten [* 3] OM = x und MP = y eines beliebigen Kurvenpunktes die Gleichung (x²/a²) + (y²/b²) = 1, und ebenso lautet die Gleichung der Ellipse, wenn man als Koordinatenachsen ein Paar konjugierte Durchmesser wählt, nur treten dann an die Stelle von a und b die Hälften dieser Durchmesser. Ist a > b, so erhält man beliebige Punkte der Ellipse, wenn man über A'A = 2a als Durchmesser einen Kreis [* 4] (den umschriebenen Kreis) beschreibt, in demselben beliebige zu A'A rechtwinkelige Ordinaten MQ zieht [* 1] (Fig. 1) und diese sämtlich in dem Verhältnis a : b verkürzt. Zu dem Zweck schlage man um den Mittelpunkt O mit dem Halbmesser OB = b einen Kreis, ziehe den Radius OQ, der den kleinen Kreis in S schneidet, und durch S eine Parallele [* 5] zu A'A, welche MQ im Ellipsenpunkt P schneidet.

Die große Achse A'A ist zugleich die Hauptachse, auf welcher die Brennpunkte F und G liegen und zwar in der Entfernung BF = BG = a von B und B'. Die Entfernung eines Brennpunktes vom Mittelpunkt OF = OG = e= ^[img] heißt die lineare Exzentrizität; dividiert man sie durch die große Halbachse a, so ergibt sich die numerische Exzentrizität &epsilon;. Wenn b = a, so ist e = o und &epsilon; = 0, die Brennpunkte fallen im Mittelpunkt zusammen, die Ellipse ist ein Kreis.

Ellipsenzirkel - Ellis

Bezüglich der Brennpunkte besteht die Eigenschaft, daß die Entfernung zweier Leitstrahlen FP + GP stets gleich der großen Achse 2a ist. Danach lassen sich ebenfalls leicht beliebige Ellipsenpunkte konstruieren. Die Tangente in den Scheiteln A' und A, den Endpunkten der Hauptachse, steht senkrecht auf A'A, in den Scheiteln B' und B dagegen steht sie senkrecht auf BB'. In einem beliebigen andern Punkt P kann man sie erhalten nach dem Satz, daß sie die verlängerte Hauptachse in demselben Punkt T [* 1] (Fig. 1) schneidet wie die (auf OQ ¶

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senkrechte) Tangente in dem Punkt Q des umschriebenen Kreises, der dieselbe Abscisse OM hat; die Tangente PT [* 6] (Fig. 2) halbiert aber auch den Winkel [* 7] zwischen einem Leitstrahl und der Verlängerung [* 8] des andern (also z. B. den Winkel GPS). Die Normale PN [* 6] (Fig. 2) halbiert dagegen den Winkel GPF zwischen den Leitstrahlen. Für die Konstruktion der Normalen ist auch das folgende Verfahren sehr bequem: man schlage um den Brennpunkt F einen durch B gehenden Kreisbogen und verlängere den Leitstrahl FP bis zum Schnittpunkt S mit diesem Bogen; [* 9]

dann ist PN parallel zu OS.

Die Fläche der Ellipse ist abπ (π = 3,1416, vgl. Kreis). Die Ellipse ist in der Astronomie [* 10] von Wichtigkeit als Bahn der Planeten [* 11] und Kometen; [* 12] vgl. Planeten und Keplersches Problem. [* 13] Bezüglich weiterer Eigenschaften vgl. auch Kegelschnitte.

^[Abb.: Ellipse]