Titel
Dreieck
(Triangel), eine von drei
Linien (Seiten) eingeschlossene
[* 1]
Figur mit ebenso vielen
Winkeln oder
Ecken. Nach der
Beschaffenheit der Seiten unterscheidet man: geradlinige, krummlinige und gemischtlinige Dreiecke.
Die geradlinigen, welche stets in einer
Ebene liegen, werden eingeteilt nach dem
Verhältnis der Seiten in gleichseitige mit
drei gleichen Seiten, gleichschenkelige mit bloß zwei gleichen Seiten (den
Schenkeln) und ungleichseitige
[* 1]
(Fig. 1); nach
den
Winkeln in spitzwinkelige mit drei spitzen
Winkeln, rechtwinkelige mit einem rechten
Winkel
[* 2] (und zwei
spitzen) und stumpfwinkelige mit einem stumpfen
Winkel (und zwei spitzen,
[* 1]
Fig. 2).
Stumpf- und spitzwinkelige Dreiecke
nennt
man auch schiefwinkelige. Im rechtwinkeligen Dreieck
nennt man die beiden den rechten
Winkel einschließenden Seiten
Katheten, die
dem rechten
Winkel gegenüberliegende Seite aber
Hypotenuse.
Die der
Basis oder
Grundlinie gegenüberliegende
Ecke eines Dreiecks
heißt dessen
Spitze. Eine senkrechte
Gerade, welche von der
Spitze auf die
Grundlinie oder deren
Verlängerung
[* 3] gefällt wird, ist die
Höhe des Dreiecks.
Betrachtet
man in einem rechtwinkeligen Dreieck
eine
Kathete als
Grundlinie, so ist die andre die
Höhe. Dreiecke
sind ähnlich, wenn sie in
den
Winkeln, kongruent (sich deckend) oder ähnlichgleich, wenn sie in den Seiten und
Winkeln übereinstimmen.
Als die bemerkenswertesten
Eigenschaften
[* 1]
^[Abb.: Fig. 1. Gleichseitiges, gleichschenkeliges, ungleichseitiges
Dreieck.]
Dreieck - Dreikaiserbu
* 4 Seite 5.130. ^[Abb.: Fig. 2. Spitzwinkeliges, rechtwinkeliges, stumpfwinkeliges
Dreieck.]
¶
mehr
der Dreiecke
sind besonders folgende hervorzuheben:
1) Eine Seite ist stets kleiner als die Summe der beiden andern, und der Unterschied zweier Seiten ist allemal kleiner als die dritte Seite.
2) Gleichen Seiten eines Dreiecks
liegen gleiche Winkel gegenüber, und gleichen Winkeln liegen gleiche Seiten gegenüber; der
größern der zwei Seiten liegt der größere Winkel, und dem größern Winkel liegt die größere Seite
gegenüber.
3) Der (durch eine Seite und die Verlängerung der andern gebildete) Außenwinkel
[* 5] eines Dreiecks
ist gleich der Summe der gegenüber
(d. h. an den beiden andern Ecken) liegenden Innenwinkel.
4) In jedem Dreieck
ist die Summe der Innenwinkel gleich zwei rechten Winkeln (Rechten) oder 180°; daraus folgt:
a) wenn man die Summe zweier Winkel von zwei Rechten abzieht, so erhält man den dritten Winkel; b) die beiden spitzen Winkel
eines rechtwinkeligen Dreiecks
betragen zusammen einen Rechten, und wenn die Katheten einander gleich sind, so ist jeder der
spitzen Winkel gleich einem halben Rechten; c) in einem gleichschenkeligen Dreieck
ist jeder der beiden gleichen Winkel ein spitzer;
d) im gleichseitigen Dreieck
beträgt jeder Winkel 60°. 5) Wenn man in einen Halbkreis ein Dreieck einzeichnet, so daß die Endpunkte
des Durchmessers und ein Punkt der Peripherie die Ecken bilden, so ist dasselbe rechtwinkelig, und der Durchmesser
ist die Hypotenuse.
6) In einem rechtwinkeligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse so groß wie die Summe der Quadrate der beiden Katheten (s. Pythagoreischer Lehrsatz). [* 6]
7) Die Fläche eines Dreiecks wird erhalten, wenn man die Zahl, welche die Länge der Grundlinie angibt, mit der Zahl, welche die Länge der Höhe in demselben Maß angibt, multipliziert und das Produkt halbiert.
8) Bestimmt wird ein a) durch die drei Seiten, b) durch zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel, c) durch zwei Seiten und den Gegenwinkel der größern, d) durch eine Seite und zwei auch der Lage nach gegebene Winkel. Stimmen zwei Dreiecke in drei solchen Stücken überein, so sind sie kongruent.
Triforium - Trigonomet
* 7 Trigonometrie.9) Ähnlich sind zwei Dreiecke, wenn sie übereinstimmen: a) in zwei Winkeln, b) in dem Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, c) in dem Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größern, d) in den Verhältnissen der drei Seiten. Die Berechnung der fehlenden Stücke eines ebenen Dreiecks aus den gegebenen ist Aufgabe der ebenen Trigonometrie. [* 7] Von den krummlinigen Dreiecken sind besonders die auf der Kugel liegenden, von Bogen [* 8] größter Kreise [* 9] gebildeten sphärischen Dreiecke von Wichtigkeit, deren Berechnung der sphärischen Trigonometrie zufällt.