Ausgezeichnete
Punkte
, s.
Singularitäten.
Ausgezeichnete Punkte
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Ausgezeichnete
Punkte
, s.
Singularitäten.
oder ausgezeichnete Punkte einer Kurve sind solche Punkte
, in denen sich die Kurve anders verhält, als
in ihrem gewöhnlichen Verlauf. Bei den ebenen algebraischen Kurven unterscheidet man folgende Arten von S.: 1)
Doppelpunkte;
in einem solchen begegnen sich zwei Zweige der Kurve. Sind in diesem Punkte
die zugehörigen Tangenten der beiden
Zweige verschieden und reell, so hat man einen gewöhnlichen Doppelpunkt (s. Tafel: Kurven II,
[* 2]
Fig. 13 a); sind die Tangenten
imaginär, so ist der Doppelpunkt ein isolierter oder Einsiedlerpunkt. Fallen
[* 3] die beiden Tangenten in
eine zusammen, so liegen die beiden Kurvenzweige entweder auf verschiedenen Seiten dieser Tangente und man hat eine Spitze
erster Art oder Rückkehrpunkt
[* 2]
(Fig. 13 b), oder sie liegen auf derselben Seite und die Kurve hat eine Spitze zweiter Art
[* 2]
(Fig. 13 i).
Gehen durch einen Punkt mehr als zwei Zweige der Kurve, so ist dieser Punkt ein vielfacher Punkt, wie z. B.
der Punkt bei 13 g, der ein dreifacher ist.
2) Wendepunkte; in einem solchen geht die Kurve von der einen Seite der zu diesem Punkte
gehörigen Tangente auf die andere
Seite über
[* 2]
(Fig. 13 f). Ein Wendepunkt kann zugleich auch Doppelpunkt sein, wie der Mittelpunkt auf Taf.
I,
[* 2]
Fig. 3. 3) Doppeltangenten sind solche
Tangenten, welche die Kurve in zwei verschiedenen Punkten
berühren, wie z. B. auf
Taf. II,
[* 2]
Fig. 5, in der beide Cykloiden eine solche Doppeltangente (hier
sogar eine vielfache Tangente) zeigen. Die Beziehungen, die zwischen den verschiedenen Arten von S. einer
ebenen algebraischen Kurve bestehen, hat Plücker aufgefunden. Man kann sich die höhern S. aus niedern entstanden denken.
Z. B. entsteht die Spitze in 13 b, wenn sich die Schleife des Doppelpunktes
in 13 a zu einem Punkt zusammenzieht. In ähnlicher
Weise entsteht aus 13 d die
[* 2]
Fig. 13 e und aus 13 k die
[* 2]
Fig. 13 i.
Der dreifache Punkt in 13 g entsteht durch Zusammenrücken der drei Doppelpunkte
in 13 c oder 13 h.
Bei Raumkurven unterscheidet man außer den wirklichen Doppelpunkten
auch noch scheinbare, denn eine Raumkurve kann, von
einem Punkte
aus gesehen, Doppelpunkte zeigen, die in Wirklichkeit nicht vorhanden sind. Viel zahlreicher
und verwickelter sind die S. bei Oberflächen. Man unterscheidet da z. B. Doppelpunkte
, hier
gewöhnlich Knotenpunkte
genannt, Doppelkurven u. s. w. (S. Tafel: Flächen II,
[* 2]
Fig. 8 u. 9.)