Ankyle
(griech.), Krümmung. ^[= Durch drei Punkte einer ebenen krummen Linie läßt sich stets ein Kreis legen. Denkt man sich ...]
Ankyle
3 Wörter, 29 Zeichen
Ankyle
(griech.), Krümmung. ^[= Durch drei Punkte einer ebenen krummen Linie läßt sich stets ein Kreis legen. Denkt man sich ...]
Durch drei Punkte einer ebenen krummen Linie läßt sich stets ein Kreis [* 4] legen. Denkt man sich einen der drei Punkte fest = P und läßt die beiden andern immer näher an ihn heranrücken und endlich mit ihm zusammenfallen, so geht der Kreis über in den Oskulations- oder Krümmungskreis des Punktes P. Es ist dies unter den verschiedenen Berührungskreisen, die alle im Punkt P die Tangente mit der krummen Linie gemein haben, derjenige, welcher sich am innigsten an die Kurve anschließt. Sein Mittelpunkt liegt auf der Normalen, d. h. auf der Geraden, welche man in P senkrecht auf der Tangente der Kurve errichten kann, und heißt der Krümmungsmittelpunkt; sein Halbmesser wird der Krümmungshalbmesser genannt. Errichtet man in zwei Punkten P und P' der Kurve die Normalen, welche sich in R schneiden und den Winkel [* 5] t einschließen, und ist der Bogen [* 6] P P' = σ, ¶
so ist mit um so größerer Genauigkeit σ = RP . τ = RP' . τ, je kleiner PP' ist, und daher RP = σ/τ, wobei σ als Bogen eines Kreises vom Halbmesser A ausgedrückt ist (180° = π, 1° = π/180 etc., s. Kreis). Daher ist der Krümmungshalbmesser ρ gleich dem Grenzwert, den σ/τ annimmt, wenn σ und τ in Null übergehen. Die Berechnung dieses Wertes ist Gegenstand der Differentialrechnung. [* 8] Da die Krümmung eines Kreises um so geringer ist, je größer sein Halbmesser, so betrachtet man als Maß der Krümmung einer ebenen Kurve die Einheit, dividiert durch den Krümmungshalbmesser.
Handelt es sich um eine Kurve im Raum, deren Punkte nicht in einer Ebene liegen, so kann man durch drei Punkte derselben eine Ebene und in dieser einen Kreis legen. Läßt man die drei Punkte zusammenfallen, so geht die Ebene in die Oskulations- oder Schmiegungsebene, der Kreis in den Krümmungskreis über; der reciproke Wert des letztern ist das Krümmungsmaß für die erste Krümmung der Kurve. Eine solche Kurve hat aber noch eine zweite Krümmung: denken wir uns für zwei benachbarte Punkte P und P' die Oskulationsebenen konstruiert, welche einen Winkel τ' einschließen, so ist der Wert, dem τ'/(PP') sich unbegrenzt nähert, wenn Zähler und Nenner zugleich in Null übergehen, das Maß für die zweite Krümmung oder für die Torsion (Windung). Deshalb heißen auch solche Kurven gewundene Kurven oder Kurven doppelter Krümmung. - Die Krümmung der krummen Flächen endlich beurteilt man nach der Krümmung ihrer Normalschnitte, d. h. der Schnitte, deren Ebenen senkrecht auf der Tangentialebene eines Punktes P der Fläche stehen. Unter diesen Schnitten hat einer in P den größten Krümmungsradius ρ, der darauf rechtwinkelige aber den kleinsten ρ'; Krümmungsmaß für die Fläche ist dann nach Gauß 1/(ρρ').