Ähnlichkeitspunkt

Ähnlichkeitspunkt,

s. Ähnlichkeit.

Ähnlichkeit,

[* 1] im allgemeinen die Übereinstimmung mehrerer Dinge nach mehreren oder den meisten ihrer Merkmale, im Unterschied von der Gleichheit oder der völligen Übereinstimmung mehrerer Dinge nach allen ihren Merkmalen. Je weniger wesentlich die übereinstimmenden Merkmale an den Dingen sind, desto zufälliger ist ihre Ähnlichkeit Unmittelbar in die Augen fallend ist die Ähnlichkeit nur an gleichartigen Dingen, an nicht gleichartigen läßt sie sich nur auf die Weise darlegen, daß man dieselben zu einander in vermittelnde Beziehungen setzt, und es ist insbesondere Sache des Witzes und Scharfsinns, selbst an den heterogensten Gegenständen verborgene Ähnlichkeiten aufzufinden.

Lehrbegriff - Lehrerin

Der Begriff der Ähnlichkeit ist vornehmlich in den Naturwissenschaften und in der Mathematik von Bedeutung. Die Naturbeschreibung geht bekanntlich bei der Klassifikation der in ihren Bereich gehörigen Gegenstände von deren Ähnlichkeit oder der im Bau ihrer Organe sich kundgebenden Übereinstimmung aus; die physiologischen und physikalischen Wissenschaften aber suchen mit Hilfe der zwischen den Äußerungen der verschiedenen Naturkräfte stattfindenden Ähnlichkeit (Analogie) die diese bedingenden allgemeinen Naturgesetze zu erkennen. Die Ähnlichkeit, welche die Abkömmlinge der Tier- und Pflanzenarten untereinander und mit ihren Erzeugern besitzen, ist bezüglich ihrer Ursachen in der neuesten Zeit vielfach Gegenstand wissenschaftlicher Untersuchungen geworden. Die Darwinsche Lehre [* 3] von der Entstehung und Abänderung der Arten und die genauere Bestimmung der Vererbungsgesetze haben in dieser Beziehung wichtige und unerwartete Resultate geliefert. - In der Mathematik versteht man unter Ähnlichkeit die Übereinstimmung von Figuren hinsichtlich ihrer Form und ohne Rücksicht auf ihre Größe.

Das Zeichen der Ähnlichkeit ist ~ (ein liegendes s, v. lat. similis, »ähnlich«). Die Geometrie lehrt, daß ebene Vielecke [* 4] ähnlich sind, wenn sie gleich viel einander paarweise entsprechende (ähnlich liegende) Seiten haben, und wenn alle Seiten des einen mit den entsprechenden des andern in Bezug auf ihre Größe in demselben Verhältnis stehen, so daß, wenn eine Seite der einen [* 1] Figur 2-, 3-, 4 etc. mal so groß ist als die entsprechende der andern, auch jede der übrigen Seiten in der einen [* 1] Figur 2-, 3-, 4 etc. mal so groß sein muß als die entsprechende der andern.

Ferner sind die Winkel [* 5] zwischen entsprechenden Seiten und Diagonalen in beiden Figuren gleich groß, und die Flächen der beiden Figuren verhalten sich wie die Quadrate der entsprechenden Seiten. Verhalten sich also die Seiten der einen zu denen der andern wie 2:5, so stehen die Flächen in dem Verhältnis 4:25. Man kann zwei ähnliche ebene Polygone, z. B. die Fünfecke ABCDE und A'B'C'D' (s. Figur), immer so legen, daß sich die Verbindungslinien entsprechender Punkte, A A', B B' etc., alle in einem Punkt S schneiden, dem Ähnlichkeitspunkt.

Kreisabschnitt - Kreis

Die entsprechenden Seiten AB und A'B', BC und B'C' etc. sind dann parallel, und die Abstände vom Ähnlichkeitspunkt, SA und SA', SB und SB' etc., verhalten sich wie zwei entsprechende Seiten AB und AB'. Die beiden Figuren liegen dann ähnlich. Zwei ähnliche Polygone lassen sich immer auf zweierlei Art in ähnliche Lage bringen, einmal so, daß die entsprechenden Punkte A und A', B und B' etc. von S aus nach einerlei Richtung liegen (vgl. I und II in der [* 1] Figur), dann aber auch so, daß SA und SA', SB und SB' etc. entgegengesetzte Richtung haben (I und III in der [* 1] Figur). Im erstern Fall ist S der äußere, im letztern der innere Ähnlichkeitspunkt der Vielecke. Da jede krummlinige [* 1] Figur sich mit beliebiger Annäherung als ein Polygon von sehr vielen Seiten betrachten läßt, so ist der Begriff der Ähnlichkeit auch auf Kurven anwendbar, und es sind beispielsweise zwei Kreise [* 6] immer als ähnlich und ähnlich liegend zu betrachten; auch zwei Parabeln sind immer ähnlich, zwei Ellipsen aber nur dann, wenn ihre Achsen in gleichem Verhältnis stehen.

Ähnliche Körper sind solche, welche von einer gleichen Anzahl der Reihe nach ähnlicher, zu einander gleich geneigter, ebener Figuren in derselben Ordnung begrenzt sind. Analog wie auf Kurven läßt sich der Begriff der Ähnlichkeit auch auf krummflächig begrenzte Körper ausdehnen, und es sind z. B. zwei Kugeln stets ähnlich. Auch die ähnliche Lage und die Ähnlichkeitspunkte sind für ähnliche Körper vorhanden. Die Oberflächen solcher Körper verhalten sich wie die Quadrate, die räumlichen Inhalte derselben wie die Kuben entsprechender Linien. Wenn also die Seiten eines Oktaeders viermal so groß sind als die eines andern ihm ähnlichen, so ist die Oberfläche des ersten 16mal so groß als die des zweiten und der Inhalt des ersten 64mal so groß als der des andern.

[* 1] ^[Abb.: Ähnliche Vielecke.]