Orchideen
[* 3] und
Aroideen auftretenden
Luftwurzeln, welche eine eigentümliche, aus stellenweise perforierten Spiralfaserzellen
gebildete
Hülle (Wurzelhülle oder velamen) besitzen und die Fähigkeit haben, den Wasserdampf der
Atmosphäre zu kondensieren.
Ein Luftwurzelstück von Epidendron elongatum ist im stande, während eines
Tags mehr als den neunten Teil seines
Gewichts
an
Wasser aufzunehmen. Hieraus erklärt sich die
Thatsache, daß manche baumbewohnende
Orchideen nach Loslösung
von ihrer Unterlage noch monatelang fortzuwachsen und unter Umständen auch zu blühen vermögen.
Bei
Angraecum globulosum nehmen die ergrünenden
Luftwurzeln sogar die
Funktion der
Blätter an, welche bei derselben zu
Schuppen
verkümmert sind. Die zum Festhalten der
Stämme an ihrer Unterlage dienenden
Wurzeln (Haftwurzeln) des
Epheus weichen ebenfalls ihrer besondern Thätigkeit entsprechend in ihrem
Bau von den gewöhnlichen
Wurzeln ab. Bei manchen
Jussiaea-Arten sind die
Wurzeln zu Schwimmorganen (Schwimmwurzeln) ausgebildet, welche angeschwollene, schwammige
Körper mit
sehr großen Lufträumen in der
Rinde darstellen und hierdurch das
Flottieren der
Pflanze imWasser ermöglichen.
Auch können sich die
Wurzeln einiger
Palmen
[* 4] zu
Dornen oder bei
Vanilla zu
Ranken umwandeln. Bei den Podostomeen nehmen sie in
einzelnen
Fällen die Gestalt eines breiten, der Unterlage flach aufliegenden
Thallus an, der grüne Laubsprosse erzeugt.
Endlich
können sich
Wurzeln z. B. bei Neottia und
Anthurium direkt inSprosse umbilden. Über die
Saugwurzeln der
Schmarotzerpflanzen
[* 5] s.
Haustorien.
[* 6] in der
Mathematik die Zahl, welche man durch Zerlegung einer gegebenen Zahl, des
Radikanden, in mehrere gleich
große
Faktoren erhält;
die Anzahl dieser
Faktoren heißt der Wurzelexponent, und nach ihr wird die Wurzel benannt. Es ist z. B. 8 die
zweiteWurzel oder
Quadratwurzel aus 64 (8 = ^/64), weil 8 . 8 = 64 ist;
5 die dritte Wurzel oder
Kubikwurzel aus 125 (5
= 3^/125), weil 5 . 5 . 5 = 125 ist;
6 die vierte Wurzel oder Biquadratwurzel aus 1296 (6 = 4^/1296), weil 6 . 6 . 6 . 6 = 1296 ist;
2 die
fünfte Wurzel aus 32 (2 = 5^/32), weil 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 ist, etc. Das Wurzelzeichen
^/, bei längern
Zahlenoben noch durch einen Horizontalstrich verlängert, ist aus dem Anfangsbuchstaben r des lateinischen
Wortesradix = Wurzel entstanden;
die Wurzelexponenten, mit Ausnahme der 2, werden demselben in der angegebenen
Weise beigeschrieben.
Das
Ausziehen der Wurzel aus einer gegebenen Zahl, d. h. die Berechnung der Wurzel (das
Radizieren), erfolgt am raschesten mittels Logarithmen (s.
Logarithmus), und bei Wurzeln höhern
Grades wendet man fast immer
dieses Hilfsmittel an. Nachstehend soll daher nur das
Ausziehen der
Quadrat- und
Kubikwurzeln ohne Logarithmen
erklärt werden.
Um die
Quadratwurzel aus einer gegebenen ganzen Zahl, z. B. 34012224, zu ziehen, teile man 1)
dieselbe von rechts nach links durch Vertikalstriche in
Klassen von je 2
Ziffern: 34|01|22|24; nur die höchste
Klasse (links)
erhält bei ungerader Zifferzahl bloß eine einzige
Ziffer.
2) unter den
Quadratzahlen 1 · 1 = 1, 2 · 2 = 4, 3 · 3 = 9, 4 · 4 = 16, 5 · 5 = 25, 6 · 6 = 36, 7 · 7 = 49, 8 ·
8 =
64, 9 · 9 = 81 suche man die größte, die sich von der höchsten
Klasse (34) subtrahieren läßt (25);
ihre
Quadratwurzel (5) ist die erste
Ziffer des
Resultats. Das
Quadrat 25 selbst subtrahiere man von 34. 3) An denRest (9) hänge
man die
Ziffern der nächsten
Klasse (01) und schreibe daneben als
Divisor das
Doppelt des bisher erhaltenen
Resultats (2 . 5 = 10). 4) Man führe die
Division aus, lasse aber dabei die letzte
Ziffer (1) des
Dividenden unbeachtet.
5) Der
Quotient (8) ist die zweite
Ziffer des
Resultats und wird einesteils der ersten
Ziffer (5), andernteils dem
Divisor 10 angehängt (vgl. die beistehende Rechnung A.) ^[img], worauf man 8 . 108 = 864 von 901 abzieht
und den Rest 37 erhält. Bei der
Division muß man den
Quotienten immer so wählen, daß diese
Subtraktion möglich ist; man
darf also in dem gegebenen
Fall nicht 90 : 10 = 9 setzen, weil 9 . 109 = 981 sich nicht von 901 subtrahieren
läßt.
6) An den bei der
Subtraktion erhaltenen Rest (37) hängt man die
Ziffern der nächsten
Klasse (22) und dividiert mit dem
Doppelten
des
Resultats 58, also mit 116, in 372, indem man die letzteZiffer (2) von 3722 vorläufig unbeachtet
läßt. Der
Quotient (3) ist die nächste
Ziffer des
Resultats, wird aber auch an den
Divisor 116 angehängt, worauf man 3 . 1163 = 3489 von 3722 subtrahiert
und den Rest 233 erhält. Mit diesem Rest und dem
Resultat 583 wiederholt man nun dasselbeVerfahren, d. h.
die
Operationen 3) bis 5), wodurch man noch die
Ziffer 2 des
Resultats erhält, wobei die Rechnung aufgeht. Es ist also 5832 die
gesuchte Wurzel. (Vgl. A, wo die an die
Divisoren angehängten
Quotienten durch kleinere
Schrift ausgezeichnet sind.) Es gründet
sich das hier erläuterte
Verfahren auf dieFormel
(a + b)²= a² + 2ab +
b²; a ist der bereits bekannte
Teil der
Quadratwurzel, b der durch
Division mit 2a in den Rest zu findende Teil.
7) Wenn bei wiederholter Ausführung der
Operationen 3) bis 6) alle
Klassen heruntergenommen sind, ohne daß die Rechnung aufgeht,
so läßt sich die
Quadratwurzel nicht genau angeben (sie ist irrational). Man kann aber durch Wiederholung
der genannten
Operationen, indem man statt der »2
Ziffern der nächsten
Klasse« je 2
Nullen an den Rest anhängt, beliebig viele
Dezimalstellen der Wurzel abrechnen (vgl. die Rechnung B) ^[img].
8) kommt bei einer
Division der
QuotientNull heraus, so hänge man denselben an das
Resultat und den
Quotienten,
nehme sodann die nächste
Klasse herunter und dividiere weiter. (Vgl. die Rechnung C, wo 9 : 12 den
Quotienten 0 gibt, worauf
man 966 : 120 = 8 erhält.) ^[img] 9) Geht die
Subtraktion auf, und bleiben noch eine oder mehrere
Klassen
übrig, die lauter
Nullen enthalten, wie in C, so hängt man an das bis dahin erhaltene
Resultat (608) so viel
Nullen, als noch
Klassen da sind.
In C ergibt sich also 60800 als Wurzel 10)
Soll man die
Quadratwurzel aus einer Zahl ziehen, die mit
einem Dezimalbruch behaftet ist, so beginnt man die Abteilung in
Klassen von je 2
Ziffern vom Dezimalkomma aus, in den Ganzen
nach links, in den
Dezimalen nach rechts gehend; dabei kann man der letzten
Klasse (rechts) in den
Dezimalen, wenn sie nur eine
einzige
Ziffer enthält, eine
Null anhängen.
¶
mehr
Die Rechnung bleibt die oben beschriebene, nur muß im Resultat ein Komma gesetzt werden, sobald Dezimalstellen heruntergenommen
werden, z. B. ^/4|01,|22|24 = 58,32; vgl.
A.
11) Enthält der Radikand auf der linken Seite eine oder mehrere Klassenmit lauterNullen, so hat die Wurzel links ebenso viele
Nullen, als die Zahl jener Klassen beträgt; z. B. ^/0,|12|96 = 0,36, ^/0,|00|12|96
= 0,036.
12) Hat man die Quadratwurzel aus einem gemeinen Bruch zu ziehen, so kann man denselben in einen Dezimalbruch verwandeln und
dann die Wurzel ausziehen, oder man zieht letztere aus Zähler und Nenner und dividiert dann. Im letztern Fall multipliziert man
vor dem RadizierenZähler und Nenner mit einer passenden Zahl, so daß der Nenner ein Quadrat wird; z. B. ^/(5 / 6) = ^/(30 /
36) = ^/30 / 6 = 5,4772256 / 6 = 0,9128709.
Soll man z. B. aus 84604519 die Kubikwurzel ziehen, so teile man 1) diese Zahl durch Vertikalstriche von rechts nach links
in Klassen von je 3 Ziffern: 84|604|519: die höchste Klasse (links) kann auch eine oder zwei Ziffern enthalten.
2) Man suche den höchsten Kubus (64), der sich von der höchsten Klasse (84) subtrahieren läßt, führe die Subtraktion aus
und notiere die Kubikwurzel 4 als erste Ziffer des Resultats (s. die folgende Rechnung).
3) An den Rest (20) hänge man die 3 Ziffern der nächsten Klasse (604) und setze neben die gewonnene Zahl
(20604) das dreifache Quadrat des bisherigen Resultats, 3 * 4 * 4 = 48, als Divisor.
5) Man mache jetzt die erste Nebenrechnung: Zunächst gebe man sich das Produkt des Divisors 48 und des erhaltenen Quotienten 3 an, 48 * 3 =
144, sodann das dreifache Produkt der ersten Zahl 4 und des Quadrats der zweiten: 3 * 4 * 3 * 3 = 108, endlich
den Kubus der zweiten Zahl 3 * 3 * 3 = 27. Diese 3 Zahlen setze man untereinander, aber jede um eine Stelle weiter nach rechts
gerückt als die vorhergehende, und addiere; die Summe 15507 ziehe man in der Hauptrechnung von 20604 ab.
6) An den Rest 5097 hänge man die Ziffern der nächsten Klasse (519), und nun verfahre man mit der Zahl 5097519
und dem bisherigen Resultat 43 genau so wie vorher mit der Zahl 20604 und dem Resultat 4, d. h. man dividiere mit 3 * 43 * 43 = 5547 in
50975, schreibe den Quotienten 9 an das Resultat 43 als dritte Ziffer und stelle in der zweiten Nebenrechnung
die Produkte 5547 * 9, 3 * 43 * 9 * 9 und 9 * 9 * 9 schräg untereinander, ziehe endlich die Summe in der Hauptrechnung ab,
wobei letztere aufgeht. Es ist also 439 die gesuchte W. ^[img]
7) Wäre die Subtraktion nicht aufgegangen, so würde man an den Rest die Ziffern der nächsten Klasse anhängen und nun mit 439 gerade
so operieren wie vorher mit 43 u. s. f. Es gründet sich das Verfahren auf die Formel (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³, wobei unter
a der bereits bekannte Teil der Wurzel verstanden ist.
9) Ist die Zahl, aus der man die Wurzel ziehen soll, mit einem Dezimalbruch behaftet, so wird die Klasseneinteilung
vom Dezimalkomma aus nach links und rechts ausgeführt, wobei man die äußerste Klasse (rechts), wenn
nötig, durch Anhängen von Nullen auf 3 Ziffern bringt. Bei der Rechnung setzt man im Resultat das Dezimalkomma, sobald man
die erste Dezimalklasse herabgenommen hat.
10) Geht eine Rechnung nicht auf, so kann man beliebig vielmal je drei Nullen herabnehmen und so immer
neue Dezimalstellen der Wurzel berechnen.
in der Grammatik derjenige Bestandteil eines Wortes, welcher nach Ablösung aller rein formalen Bestandteile, wie
Flexions- und Ableitungsendungen etc., übrigbleibt und sich als Träger
[* 8] der Bedeutung desselben zu erkennen gibt. So sind
z. B. die deutschen Wörter stehen, Stand, verständig, gestanden, unausstehlich etc. sämtlich von einer
Wurzel »ste« oder »sta«
abgeleitet, welche den Begriff des Stehens ausdrückt. Der gesamte Wortschatz aller indogermanischen Sprachen läßt sich auf
dieselbe Weise auf eine verhältnismäßig beschränkte Anzahl von Wurzeln zurückführen, und ebenso sind in andern Sprachstämmen
alle in denselben vorkommenden Wörter aus einem kleinen Vorrat von Wurzeln allmählich entstanden.
Ihrer Bedeutung nach teilt man die Wurzeln ein in Verbal- und Pronominalwurzeln; aus erstern sind die meisten Wortstämme, aus
letztern die Pronomina und wahrscheinlich auch die meisten Ableitungs- und Flexionsendungen hervorgegangen. Der erste Versuch
der systematischen Zurückführung einer Sprache
[* 9] auf ihre Wurzeln ist von den indischen Grammatikern gemacht
worden, welche schon mehrere Jahrhunderte vor Christo den ganzen Wortschatz des Sanskrit auf etwa 1700 Wurzeln zurückgeführt
hatten. Später leisteten die arabischen Grammatiker Bedeutendes in der Nachweisung der arabischen, die jüdischen in der Ermittelung
der hebräischen Wurzeln. Die Feststellung der indogermanischen Wurzeln ist eins der hervorragendsten Ergebnisse
der neuern Sprachwissenschaft.