Polyëder
(griech., Vielflächner, vieleckiger
Körper), ein nur von ebenen
Flächen begrenzter
Körper, dessen
Kanten daher geradlinig sind. Zwischen der Anzahl k der
Kanten und der Zahl w der ebenen
Winkel
[* 2] auf seiner Oberfläche
besteht die
Gleichung w = 2k.
Bilden ferner die
Kanten ein zusammenhängendes
Netz, so daß man von einer zu jeder andern gelangen
kann, ohne über eine
Fläche zu springen, und hängt ferner das Polyëder
nirgends bloß in einer
Kante oder
Ecke zusammen, so gilt für die Anzahl der
Ecken,
Flächen und
Kanten, e,
f und k, die von
Euler herrührende
Gleichung e + f =
k + 2; derartige Polyëder
nennt man auch
Eulersche Polyëder.
Zu ihnen gehören unter andern die regulären Polyëder
(regelmäßigen
Körper), welche von kongruenten
Vielecken begrenzt sind, von denen gleichviel in einer
Ecke zusammenstoßen.
Sind die
Flächen
Dreiecke (w = 3f) mit
Winkeln von 60°, so können in einer
Ecke 3, 4 oder 5 zusammenstoßen (w = 3e, w = 4e,
w = 5e), nicht aber 6 oder mehr, denn da 6 × 60° = 360° ist, so würden schon bei 6 zusammenstoßenden
Flächen alle in eine
Ebene fallen. Sind die
Flächen
Vierecke (w = 4f) mit
Winkeln von 90° oder
Fünfecke (w = 5f) mit
Winkeln
von 108°, so können nur 3 in einer
Ecke zusammenstoßen, weil sonst die
Summe der
Winkel um eine
Ecke 360°
übersteigen würde.
Sechsecke oder
Vielecke
[* 3] von noch mehr Seiten können die
Flächen eines regulären Polyeders
nicht sein,
denn schon beim
Sechseck, wo jeder
Winkel 120° beträgt, würden 3 in einer
Ecke zusammenstehende
Winkel 360° ausmachen, also
in eine
Ebene fallen.
Mittels der angegebenen
Gleichungen kann man e und f durch k ausdrücken, und die
Eulersche
Gleichung liefert dann k.
Stoßen
z. B. 3
Dreiecke in einer
Ecke zusammen, so ist w = 2k = 3e = 3f, folglich e = f = 2/3k, mithin 2/3k + 2/3k =
k + 2, folglich k = 6, e = f = 4. Man findet so fünf reguläre Polyëder
(s. Figur):
1) das Tetraeder, begrenzt von 4 regulären Dreiecken, mit 4 Ecken und 6 Kanten;
2) das Oktaeder, begrenzt von 8 regelmäßigen Dreiecken, mit 6 Ecken und 12 Kanten;
3) das Ikosaeder, [* 4] begrenzt von 20 regelmäßigen Dreiecken, mit 12 Ecken und 30 Kanten;
4) das Hexaeder, begrenzt von 6 Quadraten, mit 8 Ecken und 12 Kanten;
5) das
Dodekaeder, begrenzt von 12 gleichseitigen
Fünfecken, mit 20
Ecken und 12
Kanten. Die
Erfindung dieser Polyëder
schrieb man
im
Altertum dem
Pythagoras zu; sie hießen kosmische
Körper, weil
man in der
Schule dieses
Philosophen annahm,
die
Elemente
Feuer,
Wasser,
Luft und
Erde beständen aus den vier ersten, während das
Dodekaeder den
Umriß des Weltganzen bilde.
Halbreguläre Polyëder
sind solche, welche von regulären
Vielecken verschiedener Art begrenzt, und deren
Ecken gleich oder symmetrisch
sind; z. B. ein normales dreiseitiges
Prisma
[* 5] mit quadratischen Seitenflächen.
Archimedes hat zuerst diese
Körper behandelt und deren 13 angegeben.
Um den
Inhalt eines Polyeders zu finden, zerlegt man dasselbe in
Pyramiden, die man
einzeln berechnet.
[* 1] ^[Abb.: 1: Tetraeder. 2: Oktaeder. 3: Ikosaeder. 4: Hexaeder. 5: Dodekaeder.]