Ellipsoid
eine geschlossene krumme Fläche, welche von einer Ebene nur in einer Ellipse [* 2] oder einem Kreis [* 3] geschnitten wird. Um eine Vorstellung von derselben zu gewinnen, denke man sich vom Mittelpunkt O (s. Figur) ausgehend drei gerade, zu einander senkrechte Linien und auf der ersten, die in der Papierebene liegt, nach beiden Seiten hin die Länge OA = OA1 = a, auf der zweiten, zur Papierebene senkrechten die Strecke OB = OB1 = b, auf der dritten, wieder in der Papierebene liegenden aber die Strecke OC = OC1 = c abgetragen.
Die drei mit den
Achsen A1A und B1B, A1A und C1C, B1B und C1C konstruierten
Ellipsen bilden dann die Hauptschnitte
des Ellipsoids
, die erwähnten
Achsen heißen die
Achsen des Ellipsoids
, und wenn sie alle drei verschieden sind, so
ist das
Ellipsoid
ein dreiachsiges. Man denke sich nun, eine
Ebene werde parallel ihrer ursprünglichen
Lage verschoben,
so daß sie immer senkrecht zu C1C bleibt; sie mag dann C1C in M, die
Ellipse ACA1C1 in D und D1, die
Ellipse
BCB1C1 in E und E1 schneiden.
Mit den
Linien D1D und E1E als
Achsen konstruiert man wieder eine
Ellipse und denkt sich diese
Konstruktion
für alle
Lagen des
Punktes M von C1 bis C ausgeführt. Die
Fläche, auf welcher die so gewonnenen
Ellipsen DED1E1 sämtlich
liegen, ist dann das dreiachsige Ellipsoid.
Statt dessen kann man sich auch eine
Ebene denken, die sich um die
Achse C1C dreht;
ist F der
Punkt, in welchem sie bei irgend einer ihrer
Lagen die
Ellipse ABA1B1 schneidet, so liegt
die mit den Halbachsen OC und OF konstruierte
Ellipse auf der
Fläche.
Sind die beiden größern Halbachsen gleich groß,
a = b > c, so ist die
Fläche ein abgeplattetes Rotationsellipsoid
, welches
man sich durch
Umdrehung der
Ellipse ACA1C1 um ihre kleine
Achse CC1 erzeugt denken kann. Von dieser
Form nimmt man gewöhnlich die ideelle Erdoberfläche an; die
Meridiane CAC1, CFC1, CBC1, CA1C1, CB1C1
sind dann kongruente
Ellipsen, jeder zu CC1 senkrechte
Schnitt ist ein
Kreis, wie der
Äquator ABA1B1 und DED1E1,
der
Parallelkreis des
Punktes P. Sind aber die beiden kleinern Halbachsen gleich, b = c < a, so erhält
man ein gestrecktes Rotationsellipsoid
, das Erzeugnis der
Rotation der
Ellipse ACA1C1 um ihre große
Achse A1A; in
diesem sind alle
Schnitte senkrecht zu A1A
Kreise.
[* 4] Ein Ellipsoid
mit drei gleichen
Achsen ist eine
Kugel. Das
Volumen des dreiachsigen Ellipsoids
ist 4/3 abcπ (π = 3,1416, vgl.
Kreis).