mehr
der Dreiecke
sind besonders folgende hervorzuheben:
1) Eine Seite ist stets kleiner als die Summe der beiden andern, und der Unterschied zweier Seiten ist allemal kleiner als die dritte Seite.
2)
Gleichen Seiten eines Dreiecks
liegen gleiche
Winkel
[* 3] gegenüber, und gleichen
Winkeln liegen gleiche Seiten gegenüber; der
größern der zwei Seiten liegt der größere
Winkel, und dem größern
Winkel liegt die größere Seite
gegenüber.
3) Der (durch eine Seite und die
Verlängerung
[* 4] der andern gebildete)
Außenwinkel
[* 5] eines Dreiecks
ist gleich der
Summe der gegenüber
(d. h. an den beiden andern
Ecken) liegenden
Innenwinkel.
4) In jedem Dreieck
[* 6] ist die
Summe der
Innenwinkel gleich zwei rechten
Winkeln
(Rechten) oder 180°; daraus folgt:
a) wenn man die
Summe zweier
Winkel von zwei
Rechten abzieht, so erhält man den dritten
Winkel; b) die beiden spitzen
Winkel
eines rechtwinkeligen Dreiecks
betragen zusammen einen
Rechten, und wenn die
Katheten einander gleich sind, so ist jeder der
spitzen
Winkel gleich einem halben
Rechten; c) in einem gleichschenkeligen Dreieck
ist jeder der beiden gleichen
Winkel ein spitzer;
d) im gleichseitigen Dreieck
beträgt jeder
Winkel 60°. 5) Wenn
man in einen
Halbkreis ein Dreieck
einzeichnet, so daß die Endpunkte
des
Durchmessers und ein
Punkt der
Peripherie die
Ecken bilden, so ist dasselbe rechtwinkelig, und der
Durchmesser
ist die
Hypotenuse.
6) In einem rechtwinkeligen Dreieck
ist das
Quadrat der
Hypotenuse so groß wie die
Summe der
Quadrate der beiden
Katheten (s.
Pythagoreischer Lehrsatz).
[* 7]
7) Die
Fläche eines Dreiecks
wird erhalten, wenn man die Zahl, welche die
Länge der
Grundlinie angibt,
mit der Zahl, welche die
Länge der
Höhe in demselben
Maß angibt, multipliziert und das
Produkt halbiert.
8) Bestimmt wird ein a) durch die drei Seiten, b) durch zwei Seiten und den eingeschlossenen
Winkel, c) durch zwei Seiten
und den Gegenwinkel der größern, d) durch eine Seite und zwei auch der
Lage nach gegebene
Winkel.
Stimmen
zwei Dreiecke
in drei solchen
Stücken überein, so sind sie kongruent.
9) Ähnlich sind zwei Dreiecke
, wenn sie übereinstimmen:
a) in zwei
Winkeln,
b) in dem
Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen
Winkel, c) in dem
Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größern, d) in den Verhältnissen
der drei Seiten. Die Berechnung der fehlenden
Stücke eines ebenen Dreiecks
aus den gegebenen ist Aufgabe der ebenen
Trigonometrie.
[* 8] Von den krummlinigen Dreiecken
sind besonders die auf der
Kugel liegenden, von
Bogen
[* 9] größter
Kreise
[* 10] gebildeten sphärischen
Dreiecke
von Wichtigkeit, deren Berechnung der sphärischen
Trigonometrie zufällt.