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Kuango und die Ufergegenden des Leopold II.- und Mantumbafees. ^ Grenzwache. Die russische Grenzwert soll im Kriege als Truppe verwendet werden. Sie hat einen eige- nen Commandeur und dient zur Überwachung der Grenzen [* 2] des europ. und kaukas. Rußlands und Transkaspiens, namentlich im Zollinteresse. Ihre Stärke [* 3] beträgt (1896) 30 Brigaden und 3 selbstän- dige Abteilungen, zusammen etwa 870 Ossiziere, 29000 Mann und 1160 Pferde', [* 4] längs der West- grenze stehen 18 Brigaden, die im Kriege je 4 rei- tende und einige Fußsotnien aufstellen sollen.
Die Brigadestäbe der Grenzwert befinden sich in Petersburg, [* 5] Reval, [* 6] Riga, [* 7] Arcnsburg, Kretingen, Tauroggen, Wilkowischti, Grajewo, Lomsha, Rypin, Wlozlawsk, Kalisch, [* 8] Weljun, Ezenstochau, Nowobrshesk, San- domir, Tomaschew, Radsiwilow, Wolotschisk, No- woselizy, Skuljani, Ismail, Odessa, [* 9] Sewastopol, [* 10] Batum, [* 11] Kagysman, Wank, Eriwan, Baku und Kars, die Stäbe der drei selbständigen Abteilungen in Kertsch, Archangelsk und Aschabad. ^Grenzwert. Liegt eine Reihe von Objekten vor, so ist diejenige mathem.
Größe, die mit ihnen am unmittelbarsten zusammenhängt, ihre Anzahl. Die Vorstellba'rkeit von beliebig vielen Objekten liefert also die Reihe der Zahlen 1, 2, 3 - - - und lehrt zugleich, daß diese natürliche Zahlenreihe kein Ende hat, da man sich zu jeder Anzahl von Objekten immer noch ein Objekt hinzudenken kann. Wenn somit die natürliche Zahlenreihe endlos ist, so folgt daraus, daß auch gewisse Verknüpfun- gen von Größen ein-, zwei-, dreimal u. s. w., kurz beliebig oft ausgeführt werden können. So läßt sich z. B. das Halbieren [* 12] einer Größe, etwa der Einheit, in Gedanken ohne Ende fortsetzen, wodurch die endlose Reihe der Größen ^, ^4, ^ - - - - her- vorgeht. Nach umaligcm Halbieren hat sich ^^ ergeben, aber, wie groß auch die ganze Zahl n ge- wählt sein mag, stets ist nochmaliges Halbieren möglich; oder in Zeichen: an-^ läßt sich stets ^ ^ anreihen. Da nun faktisch die endlose Fortsetzung des Halbierens das menschliche Vermögen übersteigt, aber andererseits der Verstand uns lehrt, daß dieser Prozeß doch nie enden kann, so werden wir wie in diesem Beispiele vielfach gezwungen, Grenzbegriffe oder Grenzwert einzuführen, die aus dem Bereich des that- sächlich Gegebenen heraustreten.
Die Grenzbegriffe dürfen deshalb auch nicht ohne weiteres ebenfo wie die direkt, d. h. durch endliche und daher thatsächlich ausführbare Prozesse gewonnenen Begriffe behan- delt werden. So z. B. genügt der Grenzwert der Reihe 1 -i-1 -s-1 4 - - - den wir als Unendlichgroß l^o) bezeichnen, nicht mehr den gewöhnlichen Gefetzen der Arithmetik. Denn während in der Arithmetik stets 3. 4 1 von a verschieden ist, ist cO 4-1 ^ dxD. Man ersieht hieraus, daß die Grenzbegriffe beson- dere Schwierigkeiten darbieten und eine sorgfältige Untersuchung verlangen.
Dies erklärt, daß sie häusig zur Aufstellung von Paradoxen verwendet wurden, deren scheinbarer innerer Widerspruch immer darin lag, daß man auf die Grenzbegriffe ohne weiteres die Gesetze angewandt hatte, denen die direkt gefun- denen Begriffe unterliegen. Die beiden wichtigsten Grenzbegrisfe sind die des Unendlichgroßen und dee Unendlichkleinen, die übrigens eng zusammenhängen. Die andern Grenzbegriffe der Arithmetik kommen im Grunde genommen auf diese zurück. So z. V. der Grenzwert der Reihe 0,1 4- 0,01 4- 0,001 4- - - oder «iss ^ 10^ ^ is)5 4- - - - Denn die Summe der 11 ersten Glieder [* 13] der Reihe ist ^11^ ^ ^» ^ 10 10"' Hieraus folgt 10^^14 ^4-^4--.-4-^^ oder 10 ' 10' 10" ^^«^A^-^'10^^ .^^ ^. 10'V 10» er Ausdruck in der Klammer ist aber gleich ^, so daß und daher 10^1^-^ ^1^1 1 ^ 9 9 '10" ist.
Bei endlos wachsendem 11 zeigt sich hier, daß der Grenzwert von 5^ ausgedrückt ist vermöge des Grenzwert von 17^, der eben Unendlichklein ist. Anders ausge- sprochen: Die Zahl n kann so groß gewählt werden, daß ^5 kleiner als eine beliebig vorgegebene noch 1 so kleine Zahl wird, d. h. daß ^ von-^- um weniger als eine beliebig klein vorgegebene Zahl abweicht, weshalb ^- der Grenzwert von0,1 4- 0,01 4- 0,001 ^------ ist. Daß man zur Bestimmung der Grenzwert Umwege ein- schlagen muß, findet seine natürliche Erklärung darin, daß die Grenzbegriffe eben nur indirekt definiert werden können.
In der Analyfis treten die Grcnz- begrisse im allgemeinen in der Form auf, daß eine Größe ^ als Funktion einer Zahl n gegeben ist, so daß es sich darum handelt, den Wert zu er- mitteln, dem sich ^ für endlos wachsendes n ohne Ende nähert, wie in dem Beispiel: ^ 1 . ^ 10 ^ 10" -1-' ^10" Man geht dann so vor, daß man eine Größe d sucht derart, daß die Differenz d - a» bei hinreichend großem Werte von 11 kleiner als eine beliebig klein vorgegebene Größe wird. Hat man eine solche Größe d gefunden, so ist sie der Grenzwert der Größen ^, ^2, ^I - - - ^, - - - Da dann zugleich die Größen d-3^, I)-3-2, ^-^3 ''' ^-ll?, - - - den Grenzwert Unend- lichklein haben, so steht man auch hier, wie die Be- stimmung der Grenzwert auf die des Grenzwert Unendlichklein zurückkommt.
Nicht immer ergiebt sich ein bestimm- ter Grenzwert. So z.V. haben die Größen 1,1-1,1-1-j-1, 1-1-i-1-1, 1-1-^1-14-1 u. s. w. keinen be- stimmten Grenzwert In der Geometrie ist dcr wichtigste Grenzbcgriff der Begriff Tangente. Liegt z.B. eine Kurve vor und werden auf ihr zwei Punkte ^. und 1 gewählt, fo ist die Gerade ^ wohl definiert. Nun tann man sich vorstellen, daß der Punkt L auf der " Kurve nach ^V hintaufe. Dabei bewegt sichln, und es fragt sich, ob die Gerade ^.1^ eine bestimmte Grenz- lage annimmt, wenn sich L in dieser Weise ohne Ende den: Punkte ^V nähert. Diese Grenzlage ist die Tangente der Kurve in ^. In der Mechanik sind die Begriffe: Geschwindigkeit, Beschleunigung u. s. w. sämtlich Grenzbegrisse. DerAusickwung der Mathematik seit Begründung der Infinitesimalrech- nung beruht wesentlich darauf, daß man lernte, die Grenzbegriffe in rationeller Weise aufzufassen. ¶