oder Kreiskegel ist die Leitlinie ein
Kreis,
[* 2] und die Verbindungsgrade des Kreismittelpunktes und der
Spitze heißt
Achse des
Kegel. Je nachdem diese
Achse auf der Kreisfläche senkrecht steht oder nicht, wird der Kegel als gerader oder schiefer Kreiskegel
bezeichnet. Der gerade Kreiskegel kann auch durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner
Katheten erhalten werden und wird daher auch Rotationskegel genannt. Das von der
Spitze auf die Grundfläche gefällte Lot
heißt die Höhe des Kegel. Das Drittel dieser Höhe h multipliziert mit der Grundfläche F ergiebt den körperlichen
Inhalt I des Kegel, also I = ⅓F ⋅ h; ist F ein
Kreis mit dem Radius r, so ist I = ⅓r²π ⋅ h,
wo π die Ludolfsche Zahl bedeutet.
Der
Inhalt M des Kegelmantels eines geraden Kreiskegels ist M = r ⋅ π ⋅ s, wo s = √h² + r² die Mantellinie
(Seite des Kegel) ist. Für den schiefen Kreiskegel und beliebig anders gestaltete Kegel ist der
Inhalt der Mantelfläche nur durch
höhere
Rechnung zu finden. Doch sind alle Kegelflächen abwickelbar (s. d.).
Die Kreiskegel gehören zu den
Flächen zweiter Ordnung (s.
Fläche); die Schnittkurven, die man erhält, wenn man einen Kreiskegel
durch verschieden gelegte Ebenen schneidet, sind die
Kegelschnitte
[* 3] (s. d.).
Schriftkegel, die
Stärke
[* 4] der
Typen in der
Richtung des Buchstabenbildes. Die verschiedenen Kegelgrößen basieren
auf einem bestimmten
System, dem sog. Didotschen oder
PariserSystem, das der berühmte franz.
Typograph
Firmin Didot unter Zugrundelegung des franz. Landesmaßes, des Pied de roi, aufgestellt hat.
Für
Deutschland
[* 5] hat es 1879
HermannBerthold derart auf das
Meter basiert, daß etwa 2660 typogr. Punkte dessen Länge entsprechen.
Nach diesem BertholdschenSystem richten sich gegenwärtig sämtliche deutsche Schriftgießereien beim
Guß ihrer
Schriften. Die zum Druck von Werken hauptsächlich verwendeten Kegel sind Petit (8 Punkte) und Corpus (10 Punkte).
(S. Schriftarten.)
(Conirostres), kleine
Singvögel von gedrungenem Körper, mit dickem
Kopf und kräftigem Kegelschnabel.
Ihre Flügel sind mittellang, nicht besonders entwickelt;
dafür sind die
Beine meist gute Laufbeine. Es geboren zu den Kegelschnäbler die
Lerchen,
Ammern,
Finken,
Meisen, der Seidenschwanz
[* 9] (s. die betreffenden
Artikel) und noch eine Anzahl ausländischer
Vögel.
[* 10]
Die moderne
Systematik hat diese auf einen rein äußerlichen Charakter gegründete bunte Familie der
Singvögel aufgelöst.
(Conidae), artenreiche, besonders in den
Tropen der Quantität und Qualität nach hochentwickelte Familie
der Kammkiemer (s. d.) mit verkehrt kegelförmiger und oft schön gefärbter
schale, deren sehr starke äußerste Windung sich auf Kosten der papierartig verdünnten innern bildet.
Die
Zunge
trägt hohle, mit einer
Giftdrüse in
Verbindung stehende
Zähne,
[* 11] mit einem Widerhaken an der
Spitze. Zu den Kegelschnecken gehören
eine Reihe
Arten, die von Liebhabern im vorigen Jahrhundert, besonders in
Holland, mit überaus hohen Preisen
bezahlt wurden; so galt der
Admiral
(ConusammiralisL.) bis zu 800 M., ja
Conuscedo nulliL. aus Westindien
[* 12] sogar bis zu
5000 M.
[* 3] alle die
Kurven, die entstehen, wenn der Mantel eines Kreiskegels (s.
Kegel) durch eine Ebene geschnitten
wird. Je nach der
Lage der schneidenden Ebene gegenüber der
Achse des
Kegels erhält man namentlich drei
Gattungen von
Kurven, die sich durch besondere charakteristische Eigenschaften auszeichnen, aber auch gemeinsame Eigenschaften
besitzen. Trifft die Ebene alle Mantellinien (wie
[* 1]
Fig. 1 der
Tafel:
Flächen I zeigt), so ergiebt sich als Schnittkurve eine
geschlossene Linie, die Ellipse
[* 13] (s. d.); geht die Ebene parallel
zu einer der Mantellinien (wie in
[* 1]
Fig. 2 derselben
Tafel), so entsteht eine Parabel
[* 14] (s. d.); wenn endlich von der Schnittebene
beide Hälften des Doppelkegels getroffen werden, so erhält man eine
Hyperbel
[* 15] (s. d.). Für alle drei
Kurven gilt folgendes:
Zieht man eine horizontale Gerade
AA (s. nachstehende
[* 1]
Figur) und eine zu
dieser senkrechte Gerade DD und wählt auf
AA einen festen Punkt F, so gilt der
Satz:
Alle Punkte K, deren Abstände einerseits
von der Geraden DD, andererseits vom Punkt F ein konstantes Verhältnis
^[img]
besitzen, liegen auf einem Kegelschnitt. Je nachdem nun dieses Verhältnis kleiner, gleich oder größer als 1 ist,
erhält man bei der Konstruktion eine Ellipse, eine Parabel oder eine
Hyperbel.
AA heißt dabei die Hauptachse des Kegelschnitts,
DD die Direktrix, F der
Brennpunkt. Ellipse und
Hyperbel haben zwei im
Endlichen liegende
Brennpunkte, die Parabel dagegen einen
endlichen und einen unendlich fernen. Eine vom
Brennpunkt nach einem Kurvenpunkt gehende Gerade heißt
Fahrstrahl, Leitstrahl oder Radius vector.
Für diese Leitstrahlen gilt der allen Kegelschnitte gemeinsame
Satz: Die Fahrstrahlen r₁, r₂ eines Kurvenpunktes K bilden mit der
in K an den Kegelschnitt gezogenen
Tangente t gleiche Winkel
[* 16] α. Dieser
Satz hat zugleich physik. Bedeutung. Läßt man nämlich
den Kegelschnitt um die
AchseAA rotieren und betrachtet die innere Rotationsfläche als licht- oder schallreflektierende
Fläche, so werden alle
Strahlen einer in dem einen
Brennpunkt (z. B. F₁) befindlichen Licht- oder Schallquelle im andern
Brennpunkt (F) vereinigt; darauf beruht die Wirkung der
Brennspiegel (s. d.) und der
Schallspiegel (s. d.). Am bequemsten lassen
sich die Eigenschaften der Kegelschnitte mittels der Methoden der analytischen Geometrie (s. d.,
Bd. 7, S. 814 b) ableiten. In der
Sprache
[* 17] der analytischen Geometrie bedeutet jede
Gleichung zweiten
Grades zwischen den
auf ein festes Achsenkreuz bezogenen Parallelkoordinaten x und y einen Kegelschnitt. Die allgemeinste Form einer solchen
Gleichung lautet: a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁x + 2a₂y + a₀ = 0, worin a₁₁,
a₁₂, a₂₂, a₁, a₂ und a₀ konstante
Zahlen bedeuten. Was
¶
mehr
für ein specieller Kegelschnitt nun durch die Gleichung bei bestimmten numerischen Werten der Koefficienten a₁₁, a₁₂
u. s. w. dargestellt wird, hängt von dem Werte des als «Diskriminante»
bezeichneten Ausdrucks a₁₁a₂₂ − a²₁₂ ab. Je nachdem dieser Ausdruck positiv, gleich Null oder negativ ist,
stellt jene Gleichung eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel vor. In wie viel Punkten eine Gerade einen Kegelschnitt
trifft, findet man, indem man die beiden Koordinaten
[* 19] x, y eines vorläufig gedachten Schnittpunktes als Unbekannte der beiden
Gleichungen (des Kegelschnitts und der Geraden) auffaßt.
Die Lösung ergiebt für jede der Koordinaten x und y entweder zwei reelle verschiedene Werte, oder zwei reelle
gleiche Werte, oder zwei verschiedene imaginäre Werte. Hieraus folgt, daß eine Gerade einen Kegelschnitt höchstens in
zwei Punkten treffen kann. Im ersten Fall trifft sie ihn in zwei verschiedenen Punkten; im zweiten ist sie eine Tangente des
Kegelschnitts, im dritten hat sie keinen Punkt mit dem Kegelschnitt gemein. Besondere für die Kegelschnitte ausgezeichnete
Geraden sind die konjugierten Durchmesser (s. d.). Gemeinsame Sätze liefert auch die projektive Geometrie; nach ihr ist ein
Kegelschnitt durch fünf Punkte, von denen jedoch nicht drei oder mehr auf einer Geraden liegen dürfen, vollständig bestimmt,
und es lassen sich beliebig viele andere Punkte durch bloßes Linienziehen konstruieren.
Als Specialfall der Ellipse ist auch der Kreis ein Kegelschnitt; ferner kann man, wenn die anfangs erwähnte Schnittebene
durch die Spitze des Kegels geführt wird, auch einen Punkt sowie zwei sich schneidende oder zwei zusammenfallende Geraden
erhalten. Endlich lassen sich auch, wenn man dem Kegel die specielle Form des Cylinders giebt, zwei parallele
Gerade als Kegelschnitt auffassen. Auch diese letztgenannten Specialfälle sind in der allgemeinen Gleichung zweiten Grades
enthalten.
Die Kegelschnitte spielen in der allgemeinen Mechanik und in deren Anwendung auf die Bewegung der Himmelskörper eine wichtige Rolle.
(S. Centralbewegung.)
[* 20] über den Dupinschen Kegelschnitt s. Indikatrix. Räumliche Kegelschnitte werden
zuweilen die Flächen zweiter Ordnung (s. Fläche) genannt. Schneidet man dieselben durch Ebenen, so erhält
man ebene Kegelschnitte. Die Legung von Ebenen durch den Kegel war also nur ein specieller Fall der räumlichen Erzeugung der Kegelschnitte. Über
Geschichtliches und Litteratur s. Geometrie.