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Die Geometrie der Römer, [* 2] deren Sinn für dav prat- tische Leben den Drang nach wissenschaftlicher Er- kenntnis überwog, steht im Vergleich zur griechischen O. auf einer niedrigen Stnfe. Sie beschränkte sich auf praktische Feldmeßkunst. Die Iuder besaßen eine eigenartige Geometrie. Sie unterscheidet sich von der griechischen dadurch, daß sie kein organischem Ganzes bildet. Es fehlen grund- legende Definitionen und Axiome. Jeder Satz wird für sich bewiesen und zwar durch die bloße augen- fällige Anschauung, welche Methode das Vordringen zu kompliziertem Sätzen unmöglich machte, weshalb die indische Geometrie stets eine Art Gefühlsgcometric blieb.
Interessant ist, daß die Inder den Pytha- goreischen Lehrsatz selbständig fanden, was ihre beiden eigenartigen und sehr einfachen Beweise dieses Satzes zeigen. Die Hauptwerke sind die des Aryabhatta, um 510 n. Chr. (Formeln über Inhalt von Pyramide und Kugel), des Vrahmegupta, um 638 (Sätze über das Viereck [* 3] sowie Anfänge der Trigonometrie) [* 4] und desBhaskaraAcharya, um 1160 (eine Art algebraische Geometrie). Im Gegensatz zu der selbständigen Geometrie der Inder ist die der Araber zunächst eine Übersetzung der griechischen, indem der Chalif Al-Mamun, der von 813 bis 833 n.Chr. regierte, in einem Friedens- vertrag von dem oströ'm.
Kaiser MichaelII. die Aus- lieferung einer großen Zahl griech. Schriften for- derte, um sie ins Arabische überfetzen zu lassen. So wurden von Achmed ibn Musa - ibn Schaker und Thebit ibn Korah die Werke von Enklid, Apollonius und Archimedes übersetzt; namentlich bildeten für die Araber Euklids Elemente die Grundlage der Geometrie Vervollkommnet wurde von ihnen namentlich die Trigonometrie (s. Arabische Sprache und Litteratur, Bd.'i, S. 792d). Im Abcndlande waren seit der Völkerwande- rung bis zum 12. Jahrh, geometr. Kenntnisse so gnt wie unbekannt.
Ein Aufleben der Wissenschaft beginnt 1120 mit Atelharts (engl. Mönch) Über- setzung des Enklid aus dem Arabischen ins Latei- nische. Um dieselbe Zeit übersetzte Plato von Tivoli die Sphärik des Theodosius aus dem Arabischen, 1220 verfaßte Leonardo von Pifa seine «^i-Hotica K60M6tricÄ», eine Art Kompendium der Geometrie der Alten. Im 14. Jahrh, schrieb Thomas von Bradwardin (Erzbischof von Canterbury) eine " (^komoti-ili 8po culativk». Purbach (1423-61) förderte die Trigo- nometrie, die sein Schüler Regiomontanus vervoll- kommnete.
Seit diesem beginnt die Geometrie sich auch mit praktischen Dingen der Architektur und Malerei zu beschäftigen, an welcher Richtung auch Albrecht Dürer beteiligt war. Die Geometrie des 16. Jahrh, ist durch die numerische Behandlung geometr. Begriffe gekennzeichnet, welchen Weg schon Lucas Paecioli (1494) vorgezcichnet hatte. Zu nennen ist hier besonders Maurolycus von Messina, [* 5] der nament- lich die Theorie der Tangenten und Asymptoten förderte. Weitere Verdienste erwarben sich der Por- tugiese Nonius, [* 6] der Niederländer Ludolph van Keulen (LudolphfcheZahl), fernerVieta und Pitiscns auf dem Gebiete der sphärischen Trigonometrie.
Napier und Brigg förderten die Trigonometrie durch Einführung der Logarithmen. Im 17. Jahrh, beschäftigt man sich namentlich mit der schon von Archimedes angebahnten Inhalt^berechnung von Kurven und krummen Oberflächen, so .^lepler, (5a- valeri (1598-1647) und der durch seine baryzen- trische Regel bekannte Guldin. , De^carte^ (1596-1650) gab der Geometrie durch Er- ! findung der analytischen Geometrie einen gewaltigen Auf- z schwung, der von seinen Nachfolgern noch durch die Anwendung der von Newton und Leibniz erfundenen arbeiteten Newton und Leibniz selbst und führten die Geometrie auf die moderne Bahn.
Das Ende des 17. ^ und das 18. Jahrh, zeigten die weitere Durchbildung der neuen Methoden in ihren wichtigsten Vertretern: ^ Jakob und Johann Vernoulli, Euler, Lambert, Monge. Namentlich Monge (1746-1816) ver- ^ mehrte die Anwendungen der höhern Analysis auf ! die Geometrie, auch ist er der Schöpfer der darstellenden Geometrie. Das 19. Jahrh, brachte sowohl in der reinen Geometrie als in der höhern analytischen Geometrie neue großartige Fortschritte. Poncelet (1788-1867) schuf die pro- jettive Geometrie, die von Möbius, Plücker, Chasles, Steiner und von Staudt nach verschiedenen Rich- tungen hin ailsgebildet wurde.
Andererseits eröffnete Gauß (1777-1855) in der Theorie der Abwicklung krummer Flächen eine äußerst fruchtbare Unter- suchungsrichtung. Mit großem Eifer untersuchte man auch die Grundlagen der Geometrie (Lobatschewski, Volyay, Niemann). Gegenwärtig hat die reine Geometrie nnr wenige Vertreter, die Analysis herrscht fast vollständig und die Geometrie wird mehr als Hilfsmittel für die Analysis betrieben als um ihrer selbst willen. Litteratur. Aus der sehr reichhaltigen geometr. Litteratur seien hervorgehoben sür Elementar- geometrie: Hcis und Eschweiler, [* 7] Lehrbuch der Geometrie (3 Tle., in 7., 4. und 3. Ausl., Köln [* 8] 1881-82, 1888): Valtzer, Elemente der Mathematik, 2. Teil (6. Aufl., Lpz. 1883); Lübsen, Ausführliches Lehr- buch der Elementargeometrie (27. Aufl., ebd. 1890). Für Trigonometrie: Lübsen, Ausführliches Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie (15. Aufl., Lpz. 1890);
.Meyer, Lehrbuch der ebenen Trigonometrie (Stnttg. 1888);
Spitz, Lehrbuch der ebenen Trigonometrie (6. Aufl., Lpz. 1888);
ders., Lehrbuch der sphärischen Trigonometrie (3. Aufl., ebd. 1886).
Für analytische Geometrie:. Fort und Schlömilch, Lehrbuch der analytischen Geometrie (2 Tle., 6. Aufl., Lpz. 1894fg.);
Salmon, AnalytischeG.der Kegelschnitte [* 9] (2 Tle., 5. Aufl., ebd. 1887);
ders., Analytische Geometrie des Ranmes (2 Tle., 3. Aufl., ebd. 1880); ders., Analytische Geometrie der böhern ebenen Kurven (2. Aufl., ebd. 1882).
Für neu er eG.: Erler, Elemente der Kegelschnitte in synthetischer Behand- lung (3. Aufl., Lpz. 1887);
Clebsch, Vorlesungen über Geometrie (1. u. 2. Bd., ebd. 1875 - 91);
Cremona, Elemente der projektivischen Geometrie (Stuttg. 1883); Reye, D^e Geometrie der Lage (3 Bde., 3. Aufl., Lpz. 1886 - 92); Steiner, Vorlesungen über synthetische Geometrie (1. Tl., 3. Aufl., ebd. 1887; 2. Tl., 2. Aufl., ebd. 1876); Killing, Die nicht-euklidischen Raumformcn in ana- lytischer Behandlung (ebd. 1885).
übn darstel- lende Geometrie s. Projettion, über Geschichte der Geometrie: Cantor, Vorlesungen über Geschichte der')Nathematik (1. Bd.: Von den ältesten Zeiten bis 1200 n. Chr., 2. Aufl., Lpz. 1894; 2. Bd.: Von 1200 bis 1668, ebd. 1892; 3. Bd.: Von 1668 bis 1759, ebd. 1894fg.); .^ankel, Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter (ebd. 1874);
Klimpert, Geschichte der Geometrie (Stuttg. 1888);
Fel. Müller, Zeittafeln zur Geschichte der Mathematik, Physik und Astronomie [* 10] bis Zum Jahre 1500 (Lpz. 18M-. BrelW^n,Die Geometrie und die Geometer vor Euklid (ebd. 1870).
Zeu- then, Die Lehre [* 11] von den Kegelschnitten im Altertum (Kopenh. 1886; deutsch von von Iischer-Benzon). ¶