von
Tarent,
Schüler des
Aristoteles, lebte in
Athen
[* 4] um 350
v. Chr. Von seinen zahlreichen philos.
Schriften
sind nur kleinere Bruchstücke übrig (gesammelt bei C.
Müller in den «Fragmenta historicorum Graecorum»,
Bd. 2, Par. 1848).
Gleichzeitig ist aber Aristoxenus einer der ältesten griech. Schriftsteller über
Musik. Von seinen hierauf bezüglichen Werken sind die
«Harmonika stoicheia» in drei
Büchern, wenn auch lückenhaft und verderbt,
erhalten geblieben. Dieselben wurden von Meursius
(Leid. 1646) und mit lat.
Übersetzung in Meiboms
«Antiquae musicae scriptores»
(2. Aufl., 2 Bde.,
Amsterd. 1652) herausgegeben und von Marquard (mit deutscher
Übersetzung, Berl. 1869) kritisch untersucht. Die Bruckstücke
eines Werkes über die Rhythmik, zuerst von Morelli (Vened. 1785) herausgegeben, wurden von Feußner
(Hanau
[* 5] 1840) und
Bartels (Bresl. 1854) kritisch bearbeitet. -
Vgl. Westphal, von
Tarent, Melik und Rhythmik des
klassischen Hellenentums (Lpz. 1883; Bd.
2, hg. von Saran, ebd. 1893).
griech. Astronom, aus
Samos gebürtig, lebte um 290
v. Chr. zu
Alexandria und bestimmte, wie man vermutet
als einer der ersten, durch wirkliche Messungen die Örter der
Fixsterne
[* 6] am Himmel.
[* 7]
Sein Werk
«Über die
Fixsterne» ist
verloren gegangen, ebenso sein Kommentar zum
Aratus.
(arch.), deutsch Zahlenlehre, ist derjenige
Teil der Mathematik, der sich mit den aus Einheiten gebildeten
Zahlen (unstetigen
Größen) und ihren
Verbindungen beschäftigt. Im engern
Sinne versteht man darunter die
Lehre
[* 8] von der
Rechnung
mit bestimmten
Zahlen, die mit
Ziffern geschrieben werden. Man teilt die in die gemeine und die höhere
Arithmetik. Die gemeine Arithmetik umfaßt die bekannten vier
Species der
Rechenkunst in ganzen und gebrochenen
Zahlen und ihre praktischen Anwendungen;
ferner die
Lehre von den
Proportionen und Progressionen, die Ausziehung der Quadrat- und
Kubikwurzeln, sowie die
Rechnung mit
Logarithmen.
Die höhere Arithmetik oder Zahlenlehre im engern
Sinne begreift die Untersuchung über die allgemeinen Eigenschaften
der
Zahlen ohne Rücksicht auf ein bestimmtes
Zahlensystem, die Zerfällung der ganzen
Zahlen in
Faktoren, die
Aussonderung der
Primzahlen, die Kettenbrüche u. s. w. Ferner unterscheidet man die theoretische Arithmetik, welche
die Lehrsätze von den
Verbindungen und Eigenschaften der
Zahlen aufstellt und wissenschaftlich begründet,
von der praktischen
(technischen oder bürgerlichen), welche die Regeln und
Vorteile der Kunst, sicher und möglichst schnell
zu rechnen, mitteilt und schlechthin auch
Rechenkunst (s. d.) genannt wird.
Die numerische Arithmetik, bei den Griechen
Logistik genannt, lehrt die
Rechnung mit bestimmten, durch
Ziffern ausgedrückten
Zahlen,
im Gegensatze zur allgemeinen Arithmetik oder
Buchstabenrechnung, die sich zur Bezeichnung unbestimmter
Zahlen
der
Buchstaben bedient.
Politische Arithmetik ist die Anwendung der Arithmetik auf die in der
Verwaltung vorkommenden Verhältnisse, auf Berechnung
der
Lotterien, der
Renten-, Versorgungs- und Versicherungsanstalten, wobei die Sterblichkeitsverhältnisse, die wahrscheinliche
und mittlere
Lebensdauer in Betracht zu ziehen sind. (Vgl. Holzinger, Lehrbuch der politischen Arithmetik, Braunschw.
1888.) Die juristische Arithmetik umfaßt die Anwendung der Arithmetik bei Rechtsfällen und fällt größtenteils
mit der politischen Arithmetik zusammen. Die kaufmännische Arithmetik ist die
Rechenkunst (s. d.) für das Geschäftsleben.
Instrumentale
Arithmetik nennt man die
Rechnung mittels gewisser Werkzeuge,
[* 9] wohin die Rechentafel oder der Abakus,
[* 10] die Rechenstäbe,
namentlich aber die
Rechenmaschinen (s. d.) gehören.
Das
Rechnen, das die Griechen von den Phöniziern und den Ägyptern gelernt hatten, war von dem jetzt gebräuchlichen durchaus
verschieden und durch die überaus unbequeme Bezeichnungsart erschwert, so daß die wissenschaftliche Arithmetik bei
den Alten auf einer niedern
Stufe geblieben ist. Nur wenige arithmet.
Schriften der Alten sind auf uns
gekommen, von Euklides (das 5. und 7. bis 10.
Buch seiner Elemente), von
Archimedes (Sandrechnung und Kreismessung), von Nikomachus
und Diophantus.
Den wichtigsten Fortschritt der Arithmetik verdankt man den
Indern, welche die
Null und die jetzt allgemein gebräuchliche Zahlenschreibung
erfunden haben. Auf
Grund dieser Erfindung ist von den
Arabern im 9. Jahrh. die heutige Art des
Rechnens
ausgebildet worden. Nach Einführung der neuen in
Italien
[* 11] im 13. Jahrh. änderte sich allmählich die Gestalt der Arithmetik; erst
im 16. Jahrh. wurde der Gebrauch der
Decimalbrüche allgemeiner. Im 17. Jahrh. wurden die Logarithmen
erfunden, der letzte epochemachende Fortschritt in der
Technik des
Rechnens. (S.
Algebra.) -
Vgl.
Stolz, Vorlesungen über allgemeine
Arithmetik (2 Bde., Lpz. 1885-86).
Zeichen (mathematische Zeichen). Das Zeichen der
Addition ist + (plus), z. B. 5 + 4 ist 9;
das der
Subtraktion - (minus), hinter den Minuendus und vor den Subtrahendus, z. B. 10 - 3 ist
7;
das der Multiplikation × (mal) oder ein Punkt (·), z. B. 4 × 5 oder 4 · 5 ist 20;
das Zeichen der Division ist entweder
ein horizontaler
Strich, über dem der Dividendus und unter dem der Divisor steht, oder ein Doppelpunkt
(:, d. h. geteilt durch) zwischen dem Dividendus (der voransteht) und dem Divisor, z. B.
24/4 ^[vgl. img] oder 24 : 4 ist 6.
Verbindungen von
Zahlen durch Rechnungszeichen, d. h. Formeln, mit denen gerechnet werden
soll, werden als Parenthesen in
Klammern
[* 12] eingeschlossen, z. B.
(a + b- c) oder
[a + b- c].
Die mte
Potenz von a wird durch am, die mteWurzel
[* 13] aus a durch ^[img] bezeichnet. ^[img] oder die imaginäre Einheit wird in
i abgekürzt. Das Zeichen der
Gleichheit ist =, wofür bei Verhältnissen auch wohl :: ^[vgl. img] gesetzt wird; das
Zeichen der
Ungleichheit > und
¶
mehr
unentschieden, welche von zwei ungleichen Größen die größere ist. Das Unendlichgroße bezeichnet man mit ∞, das Unendlichkleine
mit 1/∞;