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bei einiger llbung dic Eigenschaften einer durch ^ ximenes beschäftigten sicb nlehr mit astron. fragen, l^lcickung gegebenen, aber geometriscd nocb unbe- tannten Kurve an den Eigenschaften der Gleichung studieren, und die betreffenden analytischen Me- tlwden haben durch dic Anwendung der Diffe- rentialrechnung (s. d.) eine große Eleganz ge- wonnen. Geht man zum Raum über, so gehören zur Festlegung eines Punk- tev drei Koordinaten [* 1] (die Abstände von drei fenkrecht aufeinander stehenden Koordinatenebenen); eine lineare Glei- chung Mischen diesen Koordinaten be- deutet eine Ebene, eine quadratische Gleichung stellt eine Fläcbe zweiten Grades (Kugel, Kegel, Cylinder, El- lipsoid u. s. w.) dar. Man hat auch Gleichuugen zwischen vier Koordina- ten geometrisch gedeutet, indem man den Begriff eines vierdimensiona- [* 2] Fig. 2. len Raumes einführte. Da aber ein solcher Raum nicht anschaulich vorstellbar ist. so l^aben solche Betrachtungen auch keine anschauliche Bedentung, sie sind nur ein Hilfsmittel, dac- dem Analytiker die Sprache [* 3] erleichtert.
Eine andere neuere Art der Geometrie
ist die projet- tive Geometrie oder Geometrie der
Lage. Sie betrachtet die geometr. Gebilde bloß in
Bezug auf ihre gegen- seitige
Lage, ohne ihre
Ausdehnung
[* 4] zu messen, ihr eigentümlich
sind die Konstruktionen durch bloßes ^inienziehen, ohne daß, wie in der Euklidischen Geometrie
,
Strecken auf Geraden abgetragen
und Kreisbögen geschlagen werden.
Dic Geometrie
der
Lage läßt sich un- abhängig von der Euklidischen aufbaueu,
ja sie um- faßt sogar dic Euklidische als besondern Fall. Die darstellende oder deskriptive Geometrie
beab- sichtigt
lediglich die zeichnerische Wiedergabe körper- licher Gebilde, was mittels der verschiedenen
Pro- jektionsmethoden (s. Projektion)
[* 5] geschieht.
Ein be- sonders für die Malerei wichtiger Zweig der dar- stellenden Geometrie
ist die Perspektive
(s. d.). Geometrie
der
Bewegung wird zuweilen die
Kine- matik (s. d.) genannt. Geschichtliches. Als Begründer der Geometrie
gelten
die alten Ägypter, deren Priester bei den astron.
Studien räumlicher
Begriffe bedurften. Aber auch eine praktifche Geometrie
war
ihnen in Form einer Feldmeß- kunst bekannt, zu deren Ausbildung nach Herodot namentlich die durch die
alljährlichen Nilüberschwem- mungen entstehenden Grenzstreitigkeiten der
Grund- besitzer Veranlassung gegeben haben.
Die Regeln diefer Fcldmeßkunst sind uns in dem zwischen 2000 und 1700V. Chr. entstandenen Papyrus Rhind, dem ältesten mathem. Handbuch des Ägypters Ahmes, erhalteu. (Vgl. Eisenlohr, Papyrus Rhind. Ein während Änarimenes' Schüler Auazagoras (499 -425), der letzte der Ionischen Schule, ciuen Versuch der Quadratur des Kreises sowie die Grundelemente der Perspektive lieferte. Pvlhagoras (580 ^501) gründete nach 2ljährigem Ausenthalt in Ägypten [* 6] Fig. 5. die nach ibm benannte Schule zu Kroton in Unter- italien.
Seine wesentlichsten geometr. Entdeckungen sind der Pythagoreische Lehrsatz
(s. d.) und der
Satz, daß die Winkelsumme im Dreieck
[* 7] zwei
Rechte beträgt. Der bedeutendste Pythagoräer warHippokrates von
Chios (um 440), der Versasser des ersteu griech. Elementarbuchs der Mathematik. Von ihm rühren
die
Sätze über Peripherie- und Centriwinkel sowie der
Satz von den nach ihm benannten Möndchen.
Plato
(429-348) erhob die Geometrie
zur Grundlage der
Philosophie und nahm keinen
Schüler an, der nicht geometr. Vorkenntnisse besaß.
Ihm verdankt die Stereometrie ibre erste Dnrchbildung. Sein Schüler Menächmus lum 350) entdeckte die Kegelschnitte, [* 8] dic Aristäus (um 320) in fünf Büchern behandelte; andere untersuchten die geometr. Orter. Eine neue Epoche beginnt mit der von Euklid (um 300) begründeten Alexandrinischen schule. Euklid faßte zum erstenmal mit einer für alle Zeiten muster- gültigen Systematik die bisher bekannten Schätze der reinen Mathematik in seinen «Elementen» zu- sammen und schuf dadurch zugleich ein für weitere Kreise [* 9] zugängliches Lehrbuch.
Noch heute enthalten die in Schulen gebräuchlichen Lehrbücher der
Ele- mentargeometrie
in wenig veränderter
Form und Reihenfolge die
Sätze der Euklidifchen Elemente. Selbständige Forschungen enthalten seine «Poris-
men» und
«Über die
Teilung der
[* 2]
Figuren». Nach ihm zeichnet sich Eratosthenes (276-194) durch An- wendung der
Geometrie
auf die Geodäsie aus.
Archimedes ferner studierte er die
Spirale und Schraubenlinie.
Apollonius (um
225) ist durch sein Wert über die
Kegelschnitte sowie durch seine Berührungsaufgaben mathem.
Handbuch der alten Ägypter, Lpz. 1877.) bekannt. Heron (110) überlieferte ein Lehrbuch für Dasselbe enthält Formeln des Flächeninhalts ebener [* 2] Figuren, ferner Anfänge der Ähnlichkeitslehre, sowie bereits eine einfache, sür praktische Zwecke ziemlich genaue Quadratur des Kreises. Diese geomctr. An- fangsgründe wurden von den Griechen weiter ent- wickelt. So gründete Thales von Milet nach seiner Rückkehr aus Ägypten die Ionische Schule in seiner Vaterstadt.
Seiner eigenen Erfindung werden zu- geschrieben der Beweis der Gleichheit der Scheitel- winkel, der Beweis des zweiten Kongruenzsatzes und die daraus entspringende Dreieckskonstruktiou, dic ibm als Gruudlage zu einer Methode diente, vom Hasen aus dic Entfernung der Schiffe [* 10] zu messen. Sem Schü und dessen Schüler Ana- ^eldmesser und die Formel, die den Inhalt des Dreiecks aus den drei Seiten berechnet. Hipparch sum 140) und Tbeodosius (um 55) verfaßten Werke über die für die Astronomie [* 11] wichtige sphärische Tri- gonometrie.
Von den nachchristl. Griechen ragt be- sonders Ptolemäus (87-105) hervor, der die Tri- gonometrie weiter führte und Projektionsmethoden für Landkarten, [* 12] besonders die stereographische, aus- arbeitete. Mit ihm hat die Hauptproduktivität der Griechen ihren Abschluß erreicht, und die folgenden der Geometrie kundigen Gelehrten beschäftigen sich haupt- sächlich mit der Abfassung von Kommentaren, so Pappus (" (.-oiiectiolu^ iniitliomatici,»") und Euto- cius (Kommentar zu Archimedes und Apollonius). ¶