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die an der konkaven liegenden eine Zusammen- drückung, während in der Mitte einige Fasern exi- stieren, welche gar keine Veränderung erleiden. Der Bruch eines solchen Körpers beginnt also auf der konvexen gespannten oder auf der konkaven kom- primierten Seite, je nachdem die Zerreißung oder die Zerdrückung leichter eintritt, und zwar tritt er immer zuvörderst an den äußersten, am stärksten in Anspruch genommenen Fasern auf. Sobald die äußerste Faser nachgegeben hat, folgen auch die in- nern.
Wenn hiernach Körper mit ihrer Biegungs- festigkeit widerstehen, so werden sie gleichzeitig auf ihre Zug- und Druckfestigkeit in Anspruch genom- men. Während bei der Belastung auf Zug nur die Größe des Stabqucrschnitts von Einfluß auf die Festigkeit [* 1] ist, spielt bei der Beanspruchung auf Biegung auch die Form des Querschnitts eine wesentliche Rolle. Ein gerader prismatischer Balken, der eingespannt oder auf Stützen aufgelagert ist und von Kräften beansprucht wird, die sämtlich normal zu seiner Achse aedichtet sind, wird sich durch den Einfluß dieser Kräfte biegen; die Fasern auf der konvexen Seite werden also gedehnt, die auf der konkaven Seite zusammengedrückt.
Dazwischen wird eine Schicht auf der ganzen Länge des Stabes vorhan- den sein, welche ihre ursprüngliche Länge behalten hat, wo also die Fasern weder gedehnt, noch gedrückt sind. Diese wird die neutrale Schicht oder ela- stische Fläche genannt. Sie enthält sämtliche Schwerpunkte der Stabquerschnitte und diese ins- besondere in ihrem Zusammenhange bilden die ela- stische Linie. Ferner unterscheidet man an einem bestimmten Querschnitt senkrecht zur elastischen Linie die neutrale Achse als die Schnittlinie des Quer- schnitts mit der neutralen Schicht.
In der neu- tralen Achse des Querschnitts ist demnach die Zug- und Druckspannung Null, auf der konvexen Seite derselben herrscht zwischen den Materialfasern Zug-, auf der andern Druckfpannung, und zwar sind diese Spannungen den Abständen des Querschnittsele- ments von der neutralen Achse proportional. Aus dem Angegebenen folgt, daß die neutrale Achse des Querschnitts stets durch den Schwerpunkt [* 2] desselben gehen muß. Wendet man die im Eingang erläuter- ten allgemeinen Sätze aus den Fall der Biegung an, so ergiebt sich direkt:
1) daß eine elastische Form- änderung eintritt, also der Stab [* 3] in seine anfäng- liche Form nach dem Aufhören der Krafteinwirkung zurückkehrt, folange die größte in den Querschnitten auftretende Zug- oder Druckspannung kleiner bleibt als der Tragmodul für Zug oder Druck;
2) daß eine bleibende Formänderung eintritt, wenn die größte in den Querschnitten auftretende Zug- oder Druckfpannung größer ist als der Tragmodul für Zug oder Druck, und 3) daß der Stab zerbricht, wenn die größte in den Querschnitten auftretende Spannung auf der Zug- oder Druckfeite den Vruch- modul für Zug oder Druck übersteigt. Die maximale Spannung in einem Querschnitte ist nun abhängig von dem Moment der äußern Kräfte, die auf den Balken wirken, in Bezug aus den betrachteten Querschnitt, ferner von der Form des Querschnitts selbst und von dem Abstände der äußersten Faserschicht von der neutralen Achse.
Das Moment der äußern Kräfte wiederum hängt ab von der Größe der auf den Balken wirkenden Kräfte, von der Art derselben, ob es konzentrierte, d. h. in einem Punkte wirkende Lasten sind, oder ob die La- sten gleickmäßig über Strecken des Balkens verteilt sind, und von der Art und Weise, wie der Balten festgehalten ist, d. h. ob er frei auf Stützen aufliegt, oder einseitig oder auf beiden Seiten eingespannt ist u. s. w. Demzufolge sind hier eine außerordent- liche Zahl von Einzelfällen zu berücksichtigen, von denen nur einige wenige, oft vorkommende ver- gleichsweife angeführt werden mögen. Am wenigsten vermag ein Balken zu tragen, wenn er an seinem einen Ende unterstützt ist und von der Last am andern Ende in Anspruch genom- men wird.
Bezeichnen wir seine Tragfähigkeit in diesem Falle mit 1, so steigt dieselbe zu der vier- fachen Größe (4), wenn er an beiden Enden unter- stützt wird und die Last in der Mitte wirkt; die Trag- fähigkeit nimmt den Wert 8 an, wenn der Balken beiderseits festgeklemmt, also eingemauert ist. Außer- dem ist zu berücksichtigen, ob die Last nur an einem oder ob sie an mehrern Punkten wirkt, oder ob sie über die ganze Länge des Balkens verteilt ist. In letztern beiden Fällen steigert sich die Tragfähigkeit.
Sie erlangt gerade die doppelte Größe von der im ersten Falle angegebenen, wenn die Last gleichmäßig über die ganze Länge verteilt ist. Daher besitzt ein einseitig festgeklemmter Balken die Tragfähig- keit 2, ein beiderseits unterstützter die Tragfähig- keit 8; ein beiderseits festgeklemmter hat die Trag- fähigkeit 12. Ein ferneres sehr wichtiges Moment, welches die Tragfähigkeit beeinflußt, ist die Ge- stalt und die Länge der Körper. Bei Balken oder Stangen von quadratischem oder rechteckigem Quer- schnitt ist die Tragfähigkeit proportional der Breite, [* 4] dem Quadrat der Höhe und umgekehrt proportional der Länge, d. h. ein Balken, der doppelt fo breit isl als ein anderer, trägt unter sonst gleichen Umstän- den das Doppelte, bei doppelter Höhe das Vierfache und bei doppelter Länge die Hälfte.
Unter Höhe wird hier stets die Dimension [* 5] verstanden, in deren Richtung die Kraft [* 6] wirkt, also bei horizontal liegen- den Balken, welche durch einen Zug von oben nach unten in Anspruch genommen werden, die senkreckte Dimension. Wirkt dagegen der Zug in horizontaler Richtung, so versteht man unter Höhe die horizon- tale Ausdehnung [* 7] u. s. w. Aus obigem folgt, daß es stets vorteilhafter ist, die Höhe beträchtlicher zu machen als die Breite, da diefe von bedeutend grö- ßerm Einflüsse auf die Tragfähigkeit ist als letztere.
Nimmt man z. V. an, man habe zwei Stangen von gleichem Querschnitt, z. V. 4 ^cin, der Querschnitt der einen aber sei quadratisch, folglich jede Seite ^ 2 cm, während der Querschnitt der andern reckt- eckig sei, also bei 1 cm Breite 4 cm Höhe habe, so wird die Tragfähigkeit der quadratischen Stange zu der der rechteckigen sich verhalten wie 2X2": I X 42 oder wie 8:16; dies folgt unmittelbar aus den vorhergegangenen Regeln. In der Praxis läßt sich nun aber die Höhe im Verhältnis zur Breite nicht beliebig steigern. So ist man beim An- fertigen eines Balkens aus einem runden Stamm genötigt, das Verhältnis der Höhe zur Breite mit 7:5 anzunehmen, wenn die größtmögliche Trag- fähigkeit erreicht werden foll. Für den Fall aber, daß man quadratifche oder runde Träger [* 8] anwenden müßte, gelten folgende Regeln: Die Tragfähigkeit zweier quadratischer Balken von verschieden großem Querschnitt verhält sich wie die Kuben der Seiten;
demnach trägt ein quadrati- scher Balken von 2 cm Seite 8mal mehr, ein 1'olcher von 3 cm Seite 27mal mehr als ein anderer von 1 cm Seite. Bei runden Trägern gilt dasselbe; ¶