Wurzel (mathematisch)

Titel

Wurzel,

Wurzel (botanisch)

[* 4] in der Mathematik die Zahl, welche man durch Zerlegung einer gegebenen Zahl, des Radikanden, in mehrere gleich große Faktoren erhält;

die Anzahl dieser Faktoren heißt der Wurzelexponent, und nach ihr wird die Wurzel benannt. Es ist z. B. 8 die zweite Wurzel oder Quadratwurzel aus 64 (8 = ^/64), weil 8 . 8 = 64 ist;

5 die dritte Wurzel oder Kubikwurzel aus 125 (5 = 3^/125), weil 5 . 5 . 5 = 125 ist;

6 die vierte Wurzel oder Biquadratwurzel aus 1296 (6 = 4^/1296), weil 6 . 6 . 6 . 6 = 1296 ist;

2 die fünfte Wurzel aus 32 (2 = 5^/32), weil 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 ist, etc. Das Wurzelzeichen ^/, bei längern Zahlen oben noch durch einen Horizontalstrich verlängert, ist aus dem Anfangsbuchstaben r des lateinischen Wortes radix = Wurzel entstanden;

die Wurzelexponenten, mit Ausnahme der 2, werden demselben in der angegebenen Weise beigeschrieben.

Das Ausziehen der Wurzel aus einer gegebenen Zahl, d. h. die Berechnung der Wurzel (das Radizieren), erfolgt am raschesten mittels Logarithmen (s. Logarithmus), und bei Wurzeln höhern Grades wendet man fast immer dieses Hilfsmittel an. Nachstehend soll daher nur das Ausziehen der Quadrat- und Kubikwurzeln ohne Logarithmen erklärt werden.

Um die Quadratwurzel aus einer gegebenen ganzen Zahl, z. B. 34012224, zu ziehen, teile man 1) dieselbe von rechts nach links durch Vertikalstriche in Klassen von je 2 Ziffern: 34|01|22|24; nur die höchste Klasse (links) erhält bei ungerader Zifferzahl bloß eine einzige Ziffer.

2) unter den Quadratzahlen 1 · 1 = 1, 2 · 2 = 4, 3 · 3 = 9, 4 · 4 = 16, 5 · 5 = 25, 6 · 6 = 36, 7 · 7 = 49, 8 · 8 = 64, 9 · 9 = 81 suche man die größte, die sich von der höchsten Klasse (34) subtrahieren läßt (25); ihre Quadratwurzel (5) ist die erste Ziffer des Resultats. Das Quadrat 25 selbst subtrahiere man von 34. 3) An den Rest (9) hänge man die Ziffern der nächsten Klasse (01) und schreibe daneben als Divisor das Doppelt des bisher erhaltenen Resultats (2 . 5 = 10). 4) Man führe die Division aus, lasse aber dabei die letzte Ziffer (1) des Dividenden unbeachtet.

5) Der Quotient (8) ist die zweite Ziffer des Resultats und wird einesteils der ersten Ziffer (5), andernteils dem Divisor 10 angehängt (vgl. die beistehende Rechnung A.) ^[img], worauf man 8 . 108 = 864 von 901 abzieht und den Rest 37 erhält. Bei der Division muß man den Quotienten immer so wählen, daß diese Subtraktion möglich ist; man darf also in dem gegebenen Fall nicht 90 : 10 = 9 setzen, weil 9 . 109 = 981 sich nicht von 901 subtrahieren läßt.

6) An den bei der Subtraktion erhaltenen Rest (37) hängt man die Ziffern der nächsten Klasse (22) und dividiert mit dem Doppelten des Resultats 58, also mit 116, in 372, indem man die letzte Ziffer (2) von 3722 vorläufig unbeachtet läßt. Der Quotient (3) ist die nächste Ziffer des Resultats, wird aber auch an den Divisor 116 angehängt, worauf man 3 . 1163 = 3489 von 3722 subtrahiert und den Rest 233 erhält. Mit diesem Rest und dem Resultat 583 wiederholt man nun dasselbe Verfahren, d. h. die Operationen 3) bis 5), wodurch man noch die Ziffer 2 des Resultats erhält, wobei die Rechnung aufgeht. Es ist also 5832 die gesuchte Wurzel. (Vgl. A, wo die an die Divisoren angehängten Quotienten durch kleinere Schrift ausgezeichnet sind.) Es gründet sich das hier erläuterte Verfahren auf die Formel (a + b)²= a² + 2ab + b²; a ist der bereits bekannte Teil der Quadratwurzel, b der durch Division mit 2a in den Rest zu findende Teil.

7) Wenn bei wiederholter Ausführung der Operationen 3) bis 6) alle Klassen heruntergenommen sind, ohne daß die Rechnung aufgeht, so läßt sich die Quadratwurzel nicht genau angeben (sie ist irrational). Man kann aber durch Wiederholung der genannten Operationen, indem man statt der »2 Ziffern der nächsten Klasse« je 2 Nullen an den Rest anhängt, beliebig viele Dezimalstellen der Wurzel abrechnen (vgl. die Rechnung B) ^[img].

8) kommt bei einer Division der Quotient Null heraus, so hänge man denselben an das Resultat und den Quotienten, nehme sodann die nächste Klasse herunter und dividiere weiter. (Vgl. die Rechnung C, wo 9 : 12 den Quotienten 0 gibt, worauf man 966 : 120 = 8 erhält.) ^[img] 9) Geht die Subtraktion auf, und bleiben noch eine oder mehrere Klassen übrig, die lauter Nullen enthalten, wie in C, so hängt man an das bis dahin erhaltene Resultat (608) so viel Nullen, als noch Klassen da sind. In C ergibt sich also 60800 als Wurzel 10) Soll man die Quadratwurzel aus einer Zahl ziehen, die mit einem Dezimalbruch behaftet ist, so beginnt man die Abteilung in Klassen von je 2 Ziffern vom Dezimalkomma aus, in den Ganzen nach links, in den Dezimalen nach rechts gehend; dabei kann man der letzten Klasse (rechts) in den Dezimalen, wenn sie nur eine einzige Ziffer enthält, eine Null anhängen. ¶