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einen Peripheriewinkel. Derselbe ist halb so groß als der Zentriwinkel AOB, der auf demselben Bogen [* 1] steht. Mithin sind alle Peripheriewinkel über demselben Bogen einander gleich, und jeder Peripheriewinkel über dem Halbkreis ist ein rechter Winkel.
8) Ein Vieleck heißt einem Kreis [* 2] eingeschrieben, wenn seine Ecken auf dem Kreisumfang liegen, dagegen dem Kreis umschrieben, wenn die Seiten den Kreis berühren. Ein reguläres Vieleck läßt sich stets sowohl als ein eingeschriebenes wie auch als ein umschriebenes betrachten. Beschreibt man in und um einen Kreis zwei reguläre Vielecke [* 3] von gleicher Seitenzahl, so ist die Fläche des eingeschriebenen kleiner, die des umschriebenen größer als die Kreisfläche; da aber der Unterschied beider Flächen um so kleiner wird und sich mehr und mehr der Null nähert, je größer die Anzahl der Seiten ist, so kann man mit Hilfe solcher Vielecke die Kreisfläche beliebig genau berechnen.
Wenn r den Radius bedeutet, so ist diese Fläche r²π, wobei π (pi) den Wert 3,1415927 hat. Archimedes wußte, daß diese Zahl zwischen 3 1/7 und 3 10/71 liegt; Ludolf van Ceulen (s. d.) berechnete von 1586 an erst 20, dann aber 35 Dezimalstellen, nämlich π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288. Von ihm heißt sie die Ludolfsche Zahl, sonst nennt man sie auch die Kreisumfangszahl. Mit den Hilfsmitteln der höhern Analysis hat man sie neuerdings noch genauer berechnet; Dase (s. d.) fand 200, der Astronom Th. Clausen (s. d.) 250, endlich Professor Richter in Elbing [* 4] 500 Dezimalen (s. Grunerts »Archiv der Mathematik und Physik«, XXV, S. 472). 9) Da man den als ein reguläres Vieleck von unendlich vielen Seiten auffassen kann, und da die Fläche eines regulären Vielecks gleich dem halben Umfang desselben, multizipliert mit dem Radius des eingeschriebenen Kreises, ist, so ist der Kreisumfang = 2rπ.
10) Ist von den drei Größen: Halbmesser = r, Kreisumfang = u, Kreisfläche = k eine die gegebene, so findet man die beiden andern mittels der Formeln
u = 2rπ | k = r²π |
r = u/(2π) | k = u²/(4π) |
r = xx k ↗ n | u = 2 xx kπ |
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11) Die Größe eines Bogens von w Grad ist = rπ(w/180).
12) Der Teil der Kreisfläche, welcher von zwei Halbmessern und einem Bogen begrenzt wird, heißt ein Sektor oder Kreisausschnitt; wenn w die Größe des Zentriwinkels in Graden bedeutet, so ist die Fläche des Sektors = r²π(w/360).
13) Die Fläche zwischen einer Sehne und ihrem Bogen heißt ein Segment oder Kreisabschnitt; sie ist = r²(πw/360 - ½ sin w). 14) Eine geometrische Konstruktion zur genauen Darstellung der Länge des Kreisumfanges in Gestalt einer geraden Linie (Rektifikation des Kreises) ist nicht bekannt; für die Praxis ist folgende von dem polnischen Jesuiten Kochanski 1685 angegebene ausreichend, welche 3,1415333 statt π gibt: Man setze den Zirkel im Endpunkt A [* 5] (Fig. 2) des Durchmessers AB ein und schlage einen durch den Mittelpunkt O gehenden Bogen, der den in C schneidet;
sodann schlage man um C einen durch A gehenden Bogen, der den ersten Bogen in D schneidet, und ziehe die Gerade OD.
Man lege nun in A die Tangente (senkrecht zu AB) an den Kreis, welche die Gerade OD in E trifft, trage EF gleich dem dreifachen Halbmesser des Kreises ab und ziehe zuletzt die Gerade FB, welche nahezu gleich dem halben Umfang ist.
15) Um die Länge eines Bogens AD [* 5] (Fig. 3) geradlinig darzustellen, lege man an A die Tangente AT und ziehe den Durchmesser AB, den man um das Stück BC gleich dem Halbmesser verlängert; zieht man zuletzt noch die Gerade CD, welche die Tangente in E schneidet, so ist AE sehr nahe gleich dem Bogen AD, solange derselbe 45° nicht überschreitet.
[* 5] ^[Abb.: Fig. 2. Rektifikation des Kreises.
Fig. 3. Bogenrektifikation.]