Dimanche - Dimension, vierte

Dime

(franz.), der Zehnte (s. d.), auch die Zehntflur, die Feldmark, welche den Zehnten zu geben verbunden war.

Dime

(engl., spr. deim), Silbermünze in den Vereinigten Staaten, [* 9] à 10 Cents = 40,5 Pf.

Dimension

Ausdehnung (der festen

[* 6] (lat.), Ausdehnung [* 10] im Raum. Der Raum hat erfahrungsmäßig drei Dimensionen, d. h. er läßt sich nach drei Richtungen ausmessen, nach Länge, Breite, [* 11] Höhe (Tiefe oder Dicke). Diese Dimensionen kommen nun auch den geometrischen Größen sämtlich oder teilweise zu. Die Linie hat nur eine Dimension, die Länge; die Fläche hat zwei Dimensionen, Länge und Breite; der Körper aber hat alle drei Dimensionen. In der Algebra und Analysis ist die Dimension einer ganzen Buchstabengröße die Anzahl ihrer Buchstabenfaktoren, z. B. a b c d hat vier Dimensionen. Die Dimension eines Bruches ist gleich dem Unterschied der Dimension des Zählers und des Nenners. In der Malerei heißt Dimension das Verhältnis der Größe der dargestellten Gegenstände oder der Teile derselben unter sich.

Dimension,

[* 6] vierte. Nimmt man als Element im Raum nicht den Punkt, wie es gewöhnlich geschieht, um die drei Dimensionen des Raums, Länge, Breite und Höhe, zu demonstrieren, sondern, was den Mathematikern längst geläufig ist, eine beliebige Linie oder Fläche an, so gelangt man zu wesentlich andern Ergebnissen. Benutzt man z. B. die gerade Linie als Element, so erscheint der Punkt als zusammengesetztes Gebilde, als Schnittpunkt zweier Geraden. Die sämtlichen Geraden einer Ebene, die durch einen Punkt gehen, bilden dann eine einfach-unendliche Mannigfaltigkeit.

Nun erhält man aber jedenfalls alle geraden Linien einer Ebene, wenn man von jedem der Punkte einer geraden Linie (in der Ebene) aus alle in der Ebene möglichen Geraden zieht. Da die Punkte einer Geraden eine einfach-unendliche Mannigfaltigkeit bilden, so erscheint die Ebene, als Gesamtheit der in ihr liegenden Geraden betrachtet, zweifach-unendlich mannigfaltig. Um ferner alle Geraden im Raum zu erhalten, genügt es, zwei Ebenen anzunehmen und von jedem Punkte der einen eine gerade Linie nach jedem Punkte der andern zu ziehen. Da nun die Punkte einer Ebene eine zweifach-unendliche Mannigfaltigkeit bilden, so bilden die sämtlichen von einem Punkte der einen Ebene ausgehenden Geraden eine ebensolche Mannigfaltigkeit, und die sämtlichen Geraden im Raum bilden eine (2+2 oder) vierfach-unendliche Mannigfaltigkeit.

Kreisabschnitt - Kreis

Der Raum, als von geraden Linien erfüllt gedacht, hat demnach vier Dimensionen. Ebenso erscheint der Raum als sechsfach-unendliche Mannigfaltigkeit, wenn man die Kreislinie als räumliches Elementargebilde betrachtet. Da man nämlich in einer Ebene um jeden Punkt unendlich viele Kreise [* 12] schlagen kann, und da die Punkte der Ebene eine zweifache Mannigfaltigkeit bilden, so erscheint die Ebene als dreifach-unendliche Mannigfaltigkeit. Denken wir uns nun alle Ebenen im Raum, die wieder eine dreifache Mannigfaltigkeit bilden, und in jeder alle Kreise, so erhält man alle im Raum denkbaren Kreise, die hiernach eine (3+3 oder) sechsfach-unendliche Mannigfaltigkeit bilden.

Aus diesen Beispielen, die man natürlich noch vermehren könnte, ersieht man, daß es nur von der Wahl des Elementargebildes abhängt, ob man die Ebene als eine Mannigfaltigkeit von zwei oder mehr Dimensionen, den Raum als eine solche von drei oder mehr Dimensionen auffassen will. Jede solche Auffassung ist eine zufällige Ansicht, die unsre Vorstellung über das Wesen des Raums nicht ändert. Nun haben aber einzelne die Ansicht geäußert, daß der Raum, im ersten Sinn aufgefaßt, mehr als drei Dimensionen besitze, daß also zur Länge, Breite und Höhe in dem uns allen geläufigen Sinn vielleicht noch eine v. Dimension, hinzukomme, die wir allerdings wegen der Beschränktheit unsers menschlichen Geistes nicht zu erkennen oder uns vorzustellen vermögen.

Diese Vorstellung findet sich schon in dem »Enchiridium metaphysicum« von Henry More (1671), der den Geistern vier Dimensionen zuschreibt, sodann bei dem protestantischen Pfarrer Fricker (1729-61), bei Kant, Gauß und neuerdings bei den Physikern Mach und Zöllner. Gauß betrachtete die drei Dimensionen des Raums als eine spezifische Eigentümlichkeit der menschlichen Seele. Wir könnten uns, sagte er, etwa in Wesen hineindenken, die sich nur zweier Dimensionen bewußt sind; höher über uns Stehende würden vielleicht in ähnlicher Weise auf uns herabblicken. Einem solchen Wesen, das sich nur zweier Dimensionen bewußt ist, würde manches unmöglich scheinen, was uns, die wir uns dreier Dimensionen bewußt sind, nicht die mindeste Schwierigkeit macht. In beistehender [* 6] Fig. 1 sind z. B. die gleichnamigen Seiten und Winkel [* 13] der drei Dreiecke I, II und III gleich groß. Die Dreiecke

[* 6] ^[Abb. Fig. 1.] ¶