Orchideen und Aroideen auftretenden Luftwurzeln, welche eine eigentümliche, aus stellenweise perforierten Spiralfaserzellen
gebildete Hülle (Wurzelhülle oder velamen) besitzen und die Fähigkeit haben, den Wasserdampf der Atmosphäre zu kondensieren.
Ein Luftwurzelstück von Epidendron elongatum ist im stande, während eines Tags mehr als den neunten Teil seines Gewichts
an Wasser aufzunehmen. Hieraus erklärt sich die Thatsache, daß manche baumbewohnende Orchideen nach Loslösung
von ihrer Unterlage noch monatelang fortzuwachsen und unter Umständen auch zu blühen vermögen.
Bei Angraecum globulosum nehmen die ergrünenden Luftwurzeln sogar die Funktion der Blätter an, welche bei derselben zu Schuppen
verkümmert sind. Die zum Festhalten der Stämme an ihrer Unterlage dienenden Wurzeln (Haftwurzeln) des
Epheus weichen ebenfalls ihrer besondern Thätigkeit entsprechend in ihrem Bau von den gewöhnlichen Wurzeln ab. Bei manchen
Jussiaea-Arten sind die Wurzeln zu Schwimmorganen (Schwimmwurzeln) ausgebildet, welche angeschwollene, schwammige Körper mit
sehr großen Lufträumen in der Rinde darstellen und hierdurch das Flottieren der Pflanze im Wasser ermöglichen.
Auch können sich die Wurzeln einiger Palmen zu Dornen oder bei Vanilla zu Ranken umwandeln. Bei den Podostomeen nehmen sie in
einzelnen Fällen die Gestalt eines breiten, der Unterlage flach aufliegenden Thallus an, der grüne Laubsprosse erzeugt. Endlich
können sich Wurzeln z. B. bei Neottia und Anthurium direkt in Sprosse umbilden. Über die Saugwurzeln der
Schmarotzerpflanzen s. Haustorien.
[* ] in der Mathematik die Zahl, welche man durch Zerlegung einer gegebenen Zahl, des Radikanden, in mehrere gleich
große Faktoren erhält;
die Anzahl dieser Faktoren heißt der Wurzelexponent, und nach ihr wird die Wurzel benannt. Es ist z. B. 8 die
zweite Wurzel oder Quadratwurzel aus 64 (8 = ^/64), weil 8 . 8 = 64 ist;
5 die dritte Wurzel oder Kubikwurzel aus 125 (5
= 3^/125), weil 5 . 5 . 5 = 125 ist;
6 die vierte Wurzel oder Biquadratwurzel aus 1296 (6 = 4^/1296), weil 6 . 6 . 6 . 6 = 1296 ist;
2 die
fünfte Wurzel aus 32 (2 = 5^/32), weil 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 ist, etc. Das Wurzelzeichen
^/, bei längern Zahlen oben noch durch einen Horizontalstrich verlängert, ist aus dem Anfangsbuchstaben r des lateinischen
Wortes radix = Wurzel entstanden;
die Wurzelexponenten, mit Ausnahme der 2, werden demselben in der angegebenen
Weise beigeschrieben.
Das Ausziehen der Wurzel aus einer gegebenen Zahl, d. h. die Berechnung der Wurzel (das
Radizieren), erfolgt am raschesten mittels Logarithmen (s. Logarithmus), und bei Wurzeln höhern Grades wendet man fast immer
dieses Hilfsmittel an. Nachstehend soll daher nur das Ausziehen der Quadrat- und Kubikwurzeln ohne Logarithmen
erklärt werden.
Um die Quadratwurzel aus einer gegebenen ganzen Zahl, z. B. 34012224, zu ziehen, teile man 1)
dieselbe von rechts nach links durch Vertikalstriche in Klassen von je 2 Ziffern: 34|01|22|24; nur die höchste Klasse (links)
erhält bei ungerader Zifferzahl bloß eine einzige Ziffer.
2) unter den Quadratzahlen 1 · 1 = 1, 2 · 2 = 4, 3 · 3 = 9, 4 · 4 = 16, 5 · 5 = 25, 6 · 6 = 36, 7 · 7 = 49, 8 ·
8 =
64, 9 · 9 = 81 suche man die größte, die sich von der höchsten Klasse (34) subtrahieren läßt (25);
ihre Quadratwurzel (5) ist die erste Ziffer des Resultats. Das Quadrat 25 selbst subtrahiere man von 34. 3) An den Rest (9) hänge
man die Ziffern der nächsten Klasse (01) und schreibe daneben als Divisor das Doppelt des bisher erhaltenen
Resultats (2 . 5 = 10). 4) Man führe die Division aus, lasse aber dabei die letzte Ziffer (1) des Dividenden unbeachtet.
5) Der Quotient (8) ist die zweite Ziffer des Resultats und wird einesteils der ersten Ziffer (5), andernteils dem
Divisor 10 angehängt (vgl. die beistehende Rechnung A.) ^[img], worauf man 8 . 108 = 864 von 901 abzieht
und den Rest 37 erhält. Bei der Division muß man den Quotienten immer so wählen, daß diese Subtraktion möglich ist; man
darf also in dem gegebenen Fall nicht 90 : 10 = 9 setzen, weil 9 . 109 = 981 sich nicht von 901 subtrahieren
läßt.
6) An den bei der Subtraktion erhaltenen Rest (37) hängt man die Ziffern der nächsten Klasse (22) und dividiert mit dem Doppelten
des Resultats 58, also mit 116, in 372, indem man die letzte Ziffer (2) von 3722 vorläufig unbeachtet
läßt. Der Quotient (3) ist die nächste Ziffer des Resultats, wird aber auch an den Divisor 116 angehängt, worauf man 3 . 1163 = 3489 von 3722 subtrahiert
und den Rest 233 erhält. Mit diesem Rest und dem Resultat 583 wiederholt man nun dasselbe Verfahren, d. h.
die Operationen 3) bis 5), wodurch man noch die Ziffer 2 des Resultats erhält, wobei die Rechnung aufgeht. Es ist also 5832 die
gesuchte Wurzel. (Vgl. A, wo die an die Divisoren angehängten Quotienten durch kleinere Schrift ausgezeichnet sind.) Es gründet
sich das hier erläuterte Verfahren auf die Formel (a + b)²= a² + 2ab + b²; a ist der bereits bekannte
Teil der Quadratwurzel, b der durch Division mit 2a in den Rest zu findende Teil.
7) Wenn bei wiederholter Ausführung der Operationen 3) bis 6) alle Klassen heruntergenommen sind, ohne daß die Rechnung aufgeht,
so läßt sich die Quadratwurzel nicht genau angeben (sie ist irrational). Man kann aber durch Wiederholung
der genannten Operationen, indem man statt der »2 Ziffern der nächsten Klasse« je 2 Nullen an den Rest anhängt, beliebig viele
Dezimalstellen der Wurzel abrechnen (vgl. die Rechnung B) ^[img].
8) kommt bei einer Division der Quotient Null heraus, so hänge man denselben an das Resultat und den Quotienten,
nehme sodann die nächste Klasse herunter und dividiere weiter. (Vgl. die Rechnung C, wo 9 : 12 den Quotienten 0 gibt, worauf
man 966 : 120 = 8 erhält.) ^[img] 9) Geht die Subtraktion auf, und bleiben noch eine oder mehrere Klassen
übrig, die lauter Nullen enthalten, wie in C, so hängt man an das bis dahin erhaltene Resultat (608) so viel Nullen, als noch
Klassen da sind. In C ergibt sich also 60800 als Wurzel 10) Soll man die Quadratwurzel aus einer Zahl ziehen, die mit
einem Dezimalbruch behaftet ist, so beginnt man die Abteilung in Klassen von je 2 Ziffern vom Dezimalkomma aus, in den Ganzen
nach links, in den Dezimalen nach rechts gehend; dabei kann man der letzten Klasse (rechts) in den Dezimalen, wenn sie nur eine
einzige Ziffer enthält, eine Null anhängen.
mehr
Die Rechnung bleibt die oben beschriebene, nur muß im Resultat ein Komma gesetzt werden, sobald Dezimalstellen heruntergenommen
werden, z. B. ^/4|01,|22|24 = 58,32; vgl.
A.
11) Enthält der Radikand auf der linken Seite eine oder mehrere Klassen mit lauter Nullen, so hat die Wurzel links ebenso viele
Nullen, als die Zahl jener Klassen beträgt; z. B. ^/0,|12|96 = 0,36, ^/0,|00|12|96
= 0,036.
12) Hat man die Quadratwurzel aus einem gemeinen Bruch zu ziehen, so kann man denselben in einen Dezimalbruch verwandeln und
dann die Wurzel ausziehen, oder man zieht letztere aus Zähler und Nenner und dividiert dann. Im letztern Fall multipliziert man
vor dem Radizieren Zähler und Nenner mit einer passenden Zahl, so daß der Nenner ein Quadrat wird; z. B. ^/(5 / 6) = ^/(30 /
36) = ^/30 / 6 = 5,4772256 / 6 = 0,9128709.
Zum Ausziehen der Kubikwurzel braucht man die Kuben (s. Kubus) der einstelligen Zahlen:
Zahl:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Kubus:
1
8
27
64
125
216
343
512
729.
Soll man z. B. aus 84604519 die Kubikwurzel ziehen, so teile man 1) diese Zahl durch Vertikalstriche von rechts nach links
in Klassen von je 3 Ziffern: 84|604|519: die höchste Klasse (links) kann auch eine oder zwei Ziffern enthalten.
2) Man suche den höchsten Kubus (64), der sich von der höchsten Klasse (84) subtrahieren läßt, führe die Subtraktion aus
und notiere die Kubikwurzel 4 als erste Ziffer des Resultats (s. die folgende Rechnung).
3) An den Rest (20) hänge man die 3 Ziffern der nächsten Klasse (604) und setze neben die gewonnene Zahl
(20604) das dreifache Quadrat des bisherigen Resultats, 3 * 4 * 4 = 48, als Divisor.
4) Man dividiere, lasse aber die 2 letzten Ziffern (04) des Dividenden außer acht; der Quotient (3) ist die zweite Ziffer des
Resultats.
5) Man mache jetzt die erste Nebenrechnung: Zunächst gebe man sich das Produkt des Divisors 48 und des erhaltenen Quotienten 3 an, 48 * 3 =
144, sodann das dreifache Produkt der ersten Zahl 4 und des Quadrats der zweiten: 3 * 4 * 3 * 3 = 108, endlich
den Kubus der zweiten Zahl 3 * 3 * 3 = 27. Diese 3 Zahlen setze man untereinander, aber jede um eine Stelle weiter nach rechts
gerückt als die vorhergehende, und addiere; die Summe 15507 ziehe man in der Hauptrechnung von 20604 ab.
6) An den Rest 5097 hänge man die Ziffern der nächsten Klasse (519), und nun verfahre man mit der Zahl 5097519
und dem bisherigen Resultat 43 genau so wie vorher mit der Zahl 20604 und dem Resultat 4, d. h. man dividiere mit 3 * 43 * 43 = 5547 in
50975, schreibe den Quotienten 9 an das Resultat 43 als dritte Ziffer und stelle in der zweiten Nebenrechnung
die Produkte 5547 * 9, 3 * 43 * 9 * 9 und 9 * 9 * 9 schräg untereinander, ziehe endlich die Summe in der Hauptrechnung ab,
wobei letztere aufgeht. Es ist also 439 die gesuchte W. ^[img]
7) Wäre die Subtraktion nicht aufgegangen, so würde man an den Rest die Ziffern der nächsten Klasse anhängen und nun mit 439 gerade
so operieren wie vorher mit 43 u. s. f. Es gründet sich das Verfahren auf die Formel (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³, wobei unter
a der bereits bekannte Teil der Wurzel verstanden ist.
8)
Geht die Subtraktion auf, und sind noch Klassen mit lauter Nullen vorhanden, so hängt man dem gewonnenen Resultat so viel
Nullen an, als die Anzahl dieser Klassen beträgt.
9) Ist die Zahl, aus der man die Wurzel ziehen soll, mit einem Dezimalbruch behaftet, so wird die Klasseneinteilung
vom Dezimalkomma aus nach links und rechts ausgeführt, wobei man die äußerste Klasse (rechts), wenn
nötig, durch Anhängen von Nullen auf 3 Ziffern bringt. Bei der Rechnung setzt man im Resultat das Dezimalkomma, sobald man
die erste Dezimalklasse herabgenommen hat.
10) Geht eine Rechnung nicht auf, so kann man beliebig vielmal je drei Nullen herabnehmen und so immer
neue Dezimalstellen der Wurzel berechnen.
in der Grammatik derjenige Bestandteil eines Wortes, welcher nach Ablösung aller rein formalen Bestandteile, wie
Flexions- und Ableitungsendungen etc., übrigbleibt und sich als Träger der Bedeutung desselben zu erkennen gibt. So sind
z. B. die deutschen Wörter stehen, Stand, verständig, gestanden, unausstehlich etc. sämtlich von einer
Wurzel »ste« oder »sta«
abgeleitet, welche den Begriff des Stehens ausdrückt. Der gesamte Wortschatz aller indogermanischen Sprachen läßt sich auf
dieselbe Weise auf eine verhältnismäßig beschränkte Anzahl von Wurzeln zurückführen, und ebenso sind in andern Sprachstämmen
alle in denselben vorkommenden Wörter aus einem kleinen Vorrat von Wurzeln allmählich entstanden.
Ihrer Bedeutung nach teilt man die Wurzeln ein in Verbal- und Pronominalwurzeln; aus erstern sind die meisten Wortstämme, aus
letztern die Pronomina und wahrscheinlich auch die meisten Ableitungs- und Flexionsendungen hervorgegangen. Der erste Versuch
der systematischen Zurückführung einer Sprache auf ihre Wurzeln ist von den indischen Grammatikern gemacht
worden, welche schon mehrere Jahrhunderte vor Christo den ganzen Wortschatz des Sanskrit auf etwa 1700 Wurzeln zurückgeführt
hatten. Später leisteten die arabischen Grammatiker Bedeutendes in der Nachweisung der arabischen, die jüdischen in der Ermittelung
der hebräischen Wurzeln. Die Feststellung der indogermanischen Wurzeln ist eins der hervorragendsten Ergebnisse
der neuern Sprachwissenschaft.