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vierte leicht berechnen. Man macht davon Anwendung bei der sogen. Regeldetri
(regula de tri), d. h. der Berechnung einer unbekannten
Größe aus drei bekannten mittels einer geometrischen Proportion.
In jeder Proportion darf man die beiden
mittlern und ebenso die beiden äußern
Glieder
[* 2] vertauschen. Aus
a - b=
c - d folgt also a - c = b - d
und d - b =
c - a, und aus
a : b=
c : d ergibt sich a : c = b : d und d : b =
c : a. Man darf ferner die beiden ersten
Glieder
vertauschen, wenn man gleichzeitig die beiden letzten vertauscht.
Auch bleibt die Proportion
richtig, wenn man die beiden ersten oder die beiden letzten
Glieder in einer arithmetischen Proportion
um eine
und dieselbe Zahl vermehrt oder vermindert, in einer geometrischen Proportion
dagegen mit einer und derselben Zahl
multipliziert oder dividiert (kürzt). Die arithmetischen Proportionen
kommen selten zur Verwendung,
sie sind eben nur eine ganz spezielle Art von
Gleichungen ersten
Grades; letzteres gilt zwar auch für die geometrischen, doch
sind diese Proportionen
, namentlich in der
Praxis, so vielfach im
Gebrauch, daß eine genauere Kenntnis derselben nicht entbehrt
werden kann, daher hier noch einige kurze Bemerkungen über dieselben Platz finden mögen.
Aus einer geometrischen
a : b=
c : d läßt sich stets eine andre von der allgemeinen Form κa + λb : μa + νb = κc + λb
: μc + νd ableiten, in welcher κ, λ, μ und ν ganz beliebige
Zahlen sind. Die gewöhnlichste
Fälle
sind
a + b: b =
c + d: d (κ = λ = ν = +1, μ = 0),
a - b: b =
c - d: d (κ = ν = +1, λ = -1, μ = 0),
a - b:
a + b=
c - d:
c + d (κ = μ = ν = +1, λ = -1) etc. Um aus drei bekannten
Größen eine vierte unbekannte mittels
einer geometrischen Proportion
berechnen zu können, ist nötig, daß diese
Größen proportional
sind, oder daß
zwei von diesen vier
Größen in demselben
Verhältnis stehen wie die zwei andern, d. h. daß der
Quotient aus den beiden ersten
gleich ist dem
Quotienten aus den beiden letzten.
Man unterscheidet zwischen direkt und indirekt proportionalen
Größen (zwischen direkten und indirekten Verhältnissen).
Bei erstern entspricht einer Vergrößerung oder
Vermehrung der einen
Größe auch eine solche der andern;
bei indirekt proportionalen
Größen vermindert sich die eine, wenn die andre vermehrt wird.
Direkt proportional
sind z. B.
Preis und
Quantität einer
Ware,
Lohn und Arbeitszeit,
Kapital und
Zinsen u. dgl., während die Zahl der
Arbeiter und die Arbeitszeit
(bei gleicher Arbeitsleistung),
Kapital und Zeit (bei gleichem
Zinsfuß und
Zins) indirekt proportional
sind.
Die unbekannte Größe, die man mit x bezeichnet, bildet gewöhnlich das vierte Glied der [* 3] Proportion und ist gleich dem Produkt der beiden mittlern Glieder, dividiert durch das erste Glied. Z. B. in welcher Zeit werden 50 Arbeiter eine Arbeit vollenden, zu der unter übrigens gleichen Umständen 35 Arbeiter 20 Tage brauchen? Da 50 Arbeiter weniger Zeit nötig haben als 35, so sind die 20 Tage zu vermindern im Verhältnis 50 : 20, und man hat also die Proportion 50 : 35 = 20 Arbeiter : x, also x = (20 . 35) / 50 = 14 Tage.
Sind mehrere Proportionen, a : b= c : d, a1 : b1 = c1 : d1, a2 : b2 = c2 : d2 etc., gegeben, so erhält man aus ihnen eine neue Proportion, deren Glieder die Produkte aus den gleichnamigen Gliedern der gegebenen Proportionen sind, nämlich aa1a2 ... : bb1b2 ... = cc1c2 : dd1d2 ... Darauf beruht die Regua multiplex oder zusammengesetzte Regeldetri, das Verfahren, aus einer ungeraden Anzahl bekannter Größen eine unbekannte Größe mittels geometrischer Proportionen zu berechnen.
Man unterscheidet Regula quinque, R. septem etc., je nachdem die Zahl der bekannten Größen 5, 7 etc. ist. Z. B. 600 Mann bauen in 21 Tagen zu 12 Stunden Arbeitszeit eine Wegstrecke von 3500 m Länge und 4 m Breite; [* 4] wieviel Tage zu 8 Stunden brauchen 900 Arbeiter zur Fertigstellung von 12,000 m Länge und 4,5 m Breite? Berücksichtigt man, alles andre als gleich annehmend, bloß die verschiedene Arbeiterzahl, so sieht man, daß die 21 Tage im Verhältnis 900 : 600 zu vermindern sind; man erhält die Proportion 900 : 600 = 21 : x1.
Beachtet man jetzt die verschiedene Dauer der täglichen Arbeitszeit, so erkennt man, daß wegen der geringern Arbeitszeit im zweiten Fall x1 zu vergrößern ist im Verhältnis 8 : 12, so daß man hat 8 : 12 = x1 : x2. Nimmt man noch Rücksicht auf die Verschiedenheit der Länge und zuletzt der Breite der hergestellten Wegstrecken, so ergeben sich noch die Proportionen 3500 : 12,000 = x2 : x3 und endlich 4 : 4,5 = x3 : x. Aus diesen vier Proportionen erhält man durch Multiplikation 900 . 8 . 3500 . 4 : 600 . 12 . 12,000 . 4,5 = 21 . x1x2x3 : x1x2x3x, wo x1x2x3 durch Division wegfällt, so daß man erhält x = (600 . 12 . 12000 . 4,5 . 21) / (900 . 8 . 3500 . 4) = 81 Tage. Statt dessen schreibt man gewöhnlich kürzer
900 : 600 = 21 : x
8 : 12
3500 : 12000
4 : 4,5
und findet nun den Wert von x, indem man das Produkt der zweiten Glieder mit 21 multipliziert und mit dem Produkt der ersten Glieder dividiert. Man sieht, daß man sich jede Ansatzbildung ersparen kann. Da nämlich die gegebene Größe 21 Tage im Verhältnis 900 : 600 zu verkleinern, dagegen in den Verhältnissen 8 : 12, 3500 : 12,000 und 4 : 4,5 zu vermehren ist, so ergibt sich sofort für x der Wert x = (21 . 600 . 12 . 12000 . 4,5) / (900 . 8 . 3500 . 4) = 81. Früher wurden in den Rechenbüchern verschiedene Vorschriften über die Anordnung der Größen bei Aufgaben dieser Art gegeben, von denen namentlich die Reessche und die Basedowsche Regel beliebt waren. Sie liefen im wesentlichen auf das Gesagte hinaus und sind entbehrlich. Zahlreiche Beispiele für praktische Verwendung der Proportionen enthält Feller u. Odermann, Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik (15. Aufl., Leipz. 1886).
Im ästhetischen Sinn ist eine gewisse, auf Zahlen- u. Größenverhältnissen beruhende Beziehung, in der die einzelnen Teile eines Natur- u. Kunstgebildes, namentlich auch der menschlichen Gestalt, zu einander stehen, und die auch in der Anschauung unmittelbar vom Sinn aufgefaßt wird und zwar so, daß sie einen wohlthätigen Eindruck macht. Für gesetzmäßige Verhältnisse des menschlichen Körpers bestimmte Regeln aufzustellen, war schon im Altertum das Bestreben der Künstler.
Die ägyptischen Bildhauer arbeiteten nach einem bestimmten Kanon (s. d.), und für die griechische Kunst stellte Polyklet in einer ebenfalls Kanon genannten Statue ein Muster auf, welches lange Zeit maßgebend blieb, bis Lysippos andre Verhältnisse für die richtigern erklärte. Seit dem Beginn der Renaissance in Italien [* 5] war die Proportion wieder ein Lieblingsgegenstand der theoretischen Studien der Künstler (Leonardo da Vinci). Am meisten beschäftigte sich jedoch Dürer mit dem Versuch, bestimmte Normen nicht nur für die Körperverhältnisse der Menschen, sondern auch der Tiere durch Messungen und Berechnungen aufzustellen. In neuerer Zeit hat G. Schadow unter dem Titel: »Polyklet, oder von den Maßen des Menschen« ein ebenfalls auf Messungen ¶
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beruhendes Handbuch der Proportion herausgegeben, welches noch gegenwärtig auf Kunstakademien zum Unterricht benutzt wird (5. Aufl., Berl. 1886). Aus der Summe zahlreicher Messungen ein Normalmaß zu gewinnen, hat für die Kunst keinen praktischen Wert. Doch sind auch neuerdings solche Versuche von Zeising (»Neue Lehre [* 7] von den Proportionen des menschlichen Körpers«, Leipz. 1885) und von Bochenek (»Kanon aller menschlichen Gestalten und der Tiere«, Berl. 1885) gemacht worden, welche beide ihrer proportionalen Teilung den Goldenen Schnitt zu Grunde gelegt haben.
Vgl. auch Carus, Proportionslehre der menschlichen Gestalt (Leipz. 1851), und den Artikel Mensch, S. 473. - In der Mensuralmusik bezeichnet Proportion die Tempobestimmungen mittels ^,^,^,^ oder umgekehrt ^,^,^,^ und viele andre Brüche.
Die Proportion bestimmte entweder die Notenwerte im Vergleich zu den unmittelbar vorausgegangenen oder aber zu den Notenwerten einer andern gleichzeitig singenden Stimme. Die Proportionen ^ (dupla) und ^ (subsesquialtera) bestimmten zugleich imperfekte Mensur, jene für die Brevis, diese für die Semibrevis, und umgekehrt bestimmten ^ (tripla) und ^ (sesquialtera) perfekte Mensur für dieselben Notengattungen. Von besonderer Bedeutung war die Proportio hemiolia (s. Hemiolie).