(griech., Vielflächner, vieleckiger
Körper), ein nur von ebenen
Flächen begrenzter
Körper, dessen
Kanten daher geradlinig sind. Zwischen der Anzahl k der
Kanten und der Zahl w der ebenen
Winkel
[* 2] auf seiner Oberfläche
besteht die
Gleichung w = 2k.
Bilden ferner die
Kanten ein zusammenhängendes
Netz, so daß man von einer zu jeder andern gelangen
kann, ohne über eine
Fläche zu springen, und hängt ferner das Polyëder nirgends bloß in einer
Kante oder
Ecke zusammen, so gilt für die Anzahl der
Ecken,
Flächen und
Kanten, e,
f und k, die von
Euler herrührende
Gleichung e + f =
k + 2; derartige Polyëder nennt man auch
Eulersche Polyëder. Zu ihnen gehören unter andern die regulären Polyëder (regelmäßigen
Körper), welche von kongruenten
Vielecken begrenzt sind, von denen gleichviel in einer
Ecke zusammenstoßen.
Sind die
FlächenDreiecke (w = 3f) mit
Winkeln von 60°, so können in einer
Ecke 3, 4 oder 5 zusammenstoßen (w = 3e, w = 4e,
w = 5e), nicht aber 6 oder mehr, denn da 6 × 60° = 360° ist, so würden schon bei 6 zusammenstoßenden
Flächen alle in eine
Ebene fallen. Sind die
FlächenVierecke (w = 4f) mit
Winkeln von 90° oder
Fünfecke (w = 5f) mit
Winkeln
von 108°, so können nur 3 in einer
Ecke zusammenstoßen, weil sonst die
Summe der
Winkel um eine
Ecke 360°
übersteigen würde.
Sechsecke oder
Vielecke
[* 3] von noch mehr Seiten können die
Flächen eines regulären Polyeders nicht sein,
denn schon beim
Sechseck, wo jeder
Winkel 120° beträgt, würden 3 in einer
Ecke zusammenstehende
Winkel 360° ausmachen, also
in eine
Ebene fallen.
Mittels der angegebenen
Gleichungen kann man e und f durch k ausdrücken, und die
EulerscheGleichung liefert dann k.
Stoßen
z. B. 3
Dreiecke in einer
Ecke zusammen, so ist w = 2k = 3e = 3f, folglich e = f = 2/3k, mithin 2/3k + 2/3k =
k + 2, folglich k = 6, e = f = 4. Man findet so fünf reguläre Polyëder (s. Figur):
5) das
Dodekaeder, begrenzt von 12 gleichseitigen
Fünfecken, mit 20
Ecken und 12
Kanten. Die
Erfindung dieser Polyëder schrieb man
im
Altertum dem
Pythagoras zu; sie hießen kosmische
Körper, weil
man in der
Schule dieses
Philosophen annahm,
die
ElementeFeuer,
Wasser,
Luft und
Erde beständen aus den vier ersten, während das
Dodekaeder den
Umriß des Weltganzen bilde.
Halbreguläre Polyëder sind solche, welche von regulären
Vielecken verschiedener Art begrenzt, und deren
Ecken gleich oder symmetrisch
sind; z. B. ein normales dreiseitiges
Prisma
[* 5] mit quadratischen Seitenflächen.
Archimedes hat zuerst diese
Körper behandelt und deren 13 angegeben.
Um denInhalt eines Polyeders zu finden, zerlegt man dasselbe in
Pyramiden, die man
einzeln berechnet.
Zahlen, deren
Einheiten sich in reguläre
Polyeder ordnen lassen; es sind dies
die Tetraedralzahlen von der allgemeinen Form 1/6n (n + 1) (n + 2), die Hexagonalzahlen (Kuben) n³, die Oktaedralzahlen
⅓ n (2 n² + 1), die Dodekaedralzahlen ½ n (9 n² - 9 n + 2) und die
Ikosaedralzahlen ½ n (5 n²
- 5 n + 2). Für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 erhält man die ersten Tetraedralzahlen 1, 4, 10, 20, 35, 56; die Hexagonalzahlen 1,
8, 27, 64, 125, 216, die Oktaedralzahlen 1, 6, 19, 44, 85, 146; die Dodekaedralzahlen 1, 20, 84, 220, 445, 816 und
die
Ikosaedralzahlen 1, 12, 48, 124, 255, 456.
L.
(Kreuzblume,
[* 7]
Ramsel,
Milchblume),
Gattung aus der
Familie der
Polygaleen,
Kräuter,
Halbsträucher oder
Sträucher
mit wechsel-, selten gegen- oder wirtelständigen, ganzen, ganzrandigen, oft lederartigen Blättern,
terminalen, selten axillaren, bisweilen seitenständigen Blütentrauben oder
Ähren, unregelmäßigen
Blüten und häutigen,
zusammengedrückten zweisamigen
Kapseln.
[* 8] Etwa 200
Arten in der warmen und gemäßigten
Zone beider
Hemisphären, besonders zahlreich
am
Kap. Polygala senegaL., in den Gebirgswäldern des östlichen
Nordamerika,
[* 9] perennierend, mit 20
cm hohem,
krautartigem
Stengel,
[* 10] lanzettlichen, zugespitzten Blättern und kleinen, weißen oder rötlichen
Blüten in endständigen
Trauben,
liefert die offizinelle spindelförmige, blaßbraune Senega- oder
Klapperschlangenwurzel, welche, nach links abwärts um ihre
Achse gedreht, auf der innern Seite der Windung mit einer kielartigen
Kante versehen ist, schwach ranzig riecht, widerlich
kratzend, scharf, etwas bitter schmeckt,
Senegin (Polygalasäure) enthält und als Expektorans, von den
Eingebornen aber gegen Schlangenbiß benutzt wird.
Tennent führte sie 1736 in den Arzneischatz ein, aber 1779 war sie in deutschen
Apotheken noch selten. Bei uns wächst Polygala amaraL., perennierend, mit 5-15
cm hohen
Stengeln, deren viele aus einerWurzel
[* 11] aufsteigen, rosettenartig zusammengedrängten
Blättern und weißen, violetten oder blauen
Blüten in endständigen, reichblütigen
Trauben. Von dieser war das geruchlose,
aber stark und rein bitter schmeckende
Kraut offizinell, wird indes fast nur noch als Volksmittel bei
Schwindsucht angewendet.
Mehrere
Arten vom
Kap sind schön blühende
Zierpflanzen.
(Polygalaceen), dikotyle Pflanzenfamilie aus der
Ordnung der
Äskulinen,
[* 12] die hauptsächlich
durch medianzygomorphe
Blüten mit 8 monadelphischen Staubblättern charakterisiert wird.
Die
Familie begreift gegen 200
Arten,
welche über alle
Erdteile verbreitet sind.
Vgl.
Bennett, Conspectus Polygalearum europ., im
»Journal of
Bot.«, Bd. 7.