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Erde setzt, die der Kotangente von 60° fast gleichkommt. Eine zwischen den beiden letztgenannten Entwurfsarten vermittelnde Projektion [* 2] ist die von Nell 1852 vorgeschlagene modifizierte Globularprojektion; dieselbe bildet das arithmetische Mittel aus beiden, schädigt die Winkeltreue weniger als die Globularprojektion und beseitigt zum großen Teil das Mißverhältnis der Flächenräume, welches bei der stenographischen Entwurfsart zwischen Mitte und Rand besteht.
Lamberts äquivalente Umformung der stereographischen Äquatorialprojektion (1772) ist von Bode (»Kenntnis der Erdkugel«, 1786) adoptiert, aber wegen Schwierigkeiten des Entwurfs selten in Anwendung gekommen. Weit mehr Anrecht auf Annahme hat die homalographische Projektion, die von Mollweide (1805) zuerst angegeben und von Babinet (1857), mit Überschreitung ihrer eigentlichen Wirkungssphäre, auf einen ganzen Atlas [* 3] ausgedehnt wurde. Sie läßt die reguläre Teilung des Quadranten fahren, welche Nicolosi und Lambert beibehielten, macht die Abstände der Meridiane gleich und berechnet die Abstände der Parallelkreise [* 1] (Fig. 6, Cb, Cd etc.) vom Äquator derart, daß die Flächeninhalte der Zonen ACab, ACcd etc. jenen auf der Kugel entsprechen.
Dadurch wird bewirkt, daß Länder am Rand zu Ländern um den Mittelpunkt bezüglich des Areals gleiches Verhältnis haben, die Umrisse jedoch sich ändern, indem sie in der heißen Zone in Meridianrichtung, in der kalten Zone in der Richtung der Parallelkreise gedehnt werden, abgesehen von jener Verzerrung der Umrisse, die durch die Krümmung der Meridiane gegen den Rand hin gesteigert wird. Diese Verzerrung wird selbstverständlich am bedeutendsten, wenn, was sonst wohl angeht, die ganze Erdoberfläche in dieser Entwurfsart als langgestreckte Ellipse [* 4] (als Oval, [* 5] dessen Durchmesser wie 1:2 sich verhalten) dargestellt wird.
Noch erübrigt die Erwähnung der orthogonalen oder orthographischen Projektion (Fig. 7), welche den Augenpunkt in unendlicher Entfernung nimmt, und nach der die halbe Kugelfläche aus dieselbe parallel treffenden Strahlen projiziert wird. Dieselbe findet wegen ihrer jähen Verkürzung am Rand nur für Mondkarten Anwendung, eignet sich für diese aber vorzüglich, weil der Mond [* 6] uns stets dieselbe Seite zuwendet und diese dem Auge [* 7] nahezu als orthogonale Scheibe erscheint.
Auch die Streifen, aus denen der Globus zusammengesetzt wird (gewöhnlich 12 an der Zahl), erfordern eine Konstruktion, damit die Parallelkreise keine Polygone werden. Jeder Parallelkreis erfordert einen besondern Radius, um jene Krümmung zu erhalten, die beim Zusammenfügen der Streifen die vollkommene Kreislinie herstellen hilft. Die Projektionen kleinerer Teile der Erdoberfläche stehen mit der darzustellenden Fläche in einem solchen Zusammenhang, daß man für einen bestimmten Erdraum auf eine Entwurfsart angewiesen ist, die für den gegebenen Fall die vorteilhafteste ist.
Erstreckt sich eine Landkarte nur über wenige Grade (4-5) vom Mittelpunkt aus, und ist dieser weder dem Äquator noch dem Pol nahe gelegen, so wird gewöhnlich die Kegelprojektion gewählt. Sie rührt von Ptolemäos (150 n. Chr.) her und beruht auf der Übertragung des Kugelstücks auf die Mantelfläche eines Kegels, der im Mittelpunkt der Karte die Erde berührend gedacht wird. Dem Mittelpunkt M entspricht der Kegel, dessen Hälfte PNC in [* 1] Fig. 8 gezeichnet ist. Vom Punkt P, dessen Entfernung man durch die Kotangente (PM) der geographischen Breite [* 8] AM findet, werden die Parallelkreise gezogen, auf dem mittlern, der durch M geht, die Grade der Länge aufgetragen u. durch die Durchschnittspunkte von P aus die Meridiane gezogen [* 1] (Fig. 9). Diese Projektionsart liefert geradlinige Meridiane und konzentrische Parallelkreise.
Gerhard Mercator (Kremer), der vorzüglichste Kartograph des 16. Jahrh., verbesserte (1554) die Projektion des Ptolemäos, indem er (wie später 1745 de l'Isle) die Längengrade nicht auf dem mittlern Parallel [* 9] der Karte auftrug, sondern auf zwei in der Mitte zwischen diesem und den Rändern der Karte gelegenen Parallelkreisen, wodurch die Abweichung der Projektion vom Kugelnetz auf die halbe Fehlergröße reduziert und verteilt wurde. Andre Versuche, die Kegelprojektion weiter auszudehnen und von den anhaftenden Nachteilen möglichst freizumachen, rühren von Murdoch her (1758). Die wichtigste Abänderung hat nach dem in Vergessenheit geratenen Vorschlag des Ptolemäos Bonne (1752) eingeführt; sie besteht in dem Auftragen der entsprechenden Längengrade auf jedem Parallelkreis, was zur Folge hat, daß die Meridiane, mit Ausnahme des mittelsten, aufhören, gerade Linien zu sein, und desto stärker gekrümmt erscheinen, je weiter sie von dem mittlern abstehen, und je größer das dargestellte Stück der Erdoberfläche ist.
Die Bonnesche Projektion ist die gewöhnlichste bis zu den Erdteilkarten hinab, bei denen die Abweichungen vom Kugelnetz in den Ecken schon bedeutend werden und die rechtwinkeligen sphärischen Trapeze mehr und mehr eine rhomboedrische Gestalt bekommen [* 1] (Fig. 10). Gelangen Äquatorialländer (z. B. Afrika) [* 10] zur Darstellung, so wird die Bonnesche Projektion identisch mit der Sansonschen (1650) oder Flamsteedschen (1729, Himmelsatlas), bei der die Parallelkreise zu geraden Parallellinien werden und die Meridiane Kurven bilden, die durch die Verbindung der auf jedem Parallel aufgetragenen Längengrade entstehen [* 1] (Fig. 11). Die Abweichung von dem Kugelnetz ergibt sich leicht aus den vom Mittelpunkt an immer schiefer werdenden Trapezen, deren Diagonalen zunehmend ungleiche Längen erhalten. Zweckmäßiger als die Bonnesche
[* 1] ^[Abb.: Fig. 6. Homalographische Projektion.
Fig. 7. Orthogonale Projektion.
Fig. 8. Theorie der Kegelprojektion.
Fig. 9. Kegelprojektion.
Fig. 10. Bonnesche Projektion.
Fig. 11. Flamsteeds Projektion.] ¶
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Projektion für Länder, die sich über eine große Zahl von Längen- und Breitengraden erstrecken, wie Asien [* 12] und Nordamerika, [* 13] wegen der bei dieser nach dem Rand zu eintretenden bedeutenden Deformation ist die Lambertsche flächentreue Zenithalprojektion (die ihren Namen ableitet von der Gleichheit der Abstände vom Mittelpunkt, Zenith), obgleich sie wegen ihrer sehr mühsamen Konstruktion bisher in den Atlanten keinen Eingang gefunden hat, sowie Fischers perspektivische Projektion zur Darstellung der Kontinente, die letzterer in den allgemeinen geometrischen Verhältnissen sehr nahe kommt, obgleich sie weder konform noch äquivalent ist; gänzlich vergessen, wurde sie von Nell neuerdings wieder ans Licht [* 14] gezogen.
Bei beiden ist die Verzerrung der Kartenbilder nach den Rändern zu nur eine mäßige. Strengen Anforderungen an Genauigkeit, d. h. an eine der Wirklichkeit entsprechende Übereinstimmung aller Dimensionen in Länge, Breite und Flächeninhalt, kann keine der vorstehend besprochenen Entwurfsarten genügen; bei einigen der neuern Länderaufnahmen, wie bei der von Preußen, [* 15] der neuen Generalstabskarte des Deutschen Reichs in 1:100,000 und der neuen Spezialkarte der österreichisch-ungarischen Monarchie in 1:75,000, bei denen es sich um eine große Zahl von Kartenblättern handelt, hat man daher zu der schon im J. 1790 von Jäger angewandten Polyederprojektion gegriffen, die sich der Kugeloberfläche vollkommen anschmiegt, und bei der der Einfluß der Krümmung der Erdoberfläche so verschwindend klein wird, daß derselbe hinter den zufälligen Unregelmäßigkeiten in der Zusammenziehung des Papiers beim Druck weit zurückbleibt.
Wie der Name der Entwurfsart bereits andeutet, wird dieselbe eigentlich auf einem Polyeder [* 16] und zwar in Gradabteilungskarten projiziert, d. h. man denkt sich das darzustellende Gebiet durch Meridiane und Parallelkreise in so kleine Trapeze geteilt, daß die Abbildung eines derselben in dem gewählten Maßstab [* 17] auf einem handlichen Papierformat Platz findet. [* 11] Fig. 12 stellt das Trapez [* 18] eines Längen- und Breitengrades vor, das in acht Sektionen zerfällt, deren jede 30 Längenminuten breit und 15 Breitenminuten hoch ist.
Die vertikalen Seiten der Sektionen sind sonach Teile von Meridianen, die horizontalen Seiten sind Teile von Parallelkreisen. Jedes der Trapeze ist so klein, daß es als ebenes Viereck [* 19] angesehen, bez. mit einer durch seine vier Eckpunkte gelegten Ebene identisch betrachtet werden kann. Da die Karte im ganzen der Krümmung der Erdoberfläche folgt, läßt sie sich füglich nicht als ebene Abbildung aus den Sektionen zusammensetzen; allein wo es sich nur um eine beschränkte Anzahl von Nachbarsektionen handelt, ist die Abweichung von der Ebene so gering, daß dieselben in kleinen Abteilungen sehr wohl aneinander gestoßen werden können.
Gebirgsdarstellung.
Ein besonderes Augenmerk verdienen die Unebenheiten der Erdoberfläche, und es ist in neuester Zeit das Bestreben, dem dritten körperlichen Faktor, der Höhe, ebenso gerecht zu werden wie den Dimensionen der Länge, Breite und Fläche, immer reger geworden. Wie beim Kugelkörper die Projektion hinter den Anforderungen der Richtigkeit der horizontalen Dimensionen zurückbleibt, so erreicht die beste Zeichnungsmanier nur unvollkommen die Plastik der Natur und das nur bei den topographischen Karten großen Maßes, die mit der charakteristischen Individualität der Erhebungen einigermaßen Schritt halten können. In ältester Zeit begnügte man sich mit den einfachsten Zeichen, um überhaupt Gebirge anzugeben. Sägenartige Segmente [* 11] (Fig. 13) stellen in den ältesten Ausgaben des Ptolemäos die Hochgebirge vor. Die Seitenansicht der Berge ging später in die Haufenform [* 11] (Fig. 14) über, u. diese reicht bis in unser Jahrhundert herüber.
Bei topographischen Karten (früher Staatsgeheimnis) konnte diese allgemeine konventionelle Bezeichnungsart nicht genügen; es wurden (in Frankreich zuerst) Höhenschraffen u. schiefe Beleuchtung [* 20] eingeführt, und die verschiedenen »Plankammern« der Staaten zeichneten das Terrain ihrer Aufnahmeblätter nach sehr verschiedenen Schlüsseln, bis der sächsische Major Lehmann (1796) ein auf senkrechte Beleuchtung und auf Böschungswinkel von 5, 10-45° Steigung basiertes System der Schraffierung [* 21] aufstellte, das später in Deutschland, [* 22] Österreich [* 23] und andern Ländern (nie aber in England), wenn auch meist modifiziert, zur Annahme und Geltung gekommen ist.
Lehmann wollte damit erreichen, daß man aus dem Verhältnis der Strichdicke zum weißen Zwischenraum den Neigungswinkel auf ca. 5° schätzen könne, und daß die Lage der Schraffen den Wasserlauf andeute, indem dieselben senkrecht auf den Horizontalkurven aufstehen sollten, die aber nach der Zeichnung wieder entfernt wurden. Wäre er einen Schritt weiter gegangen durch Einführung bleibender absoluter Niveaukurven, so würde er der Begründer der in neuester Zeit als wichtigster Bestandteil der Terrainaufnahme erkannten hypsometrischen Karten geworden sein, bei denen, die erreichbare Genauigkeit der Kurven vorausgesetzt, das Verhältnis der Entfernung zweier Kurven zu ihrer Höhendistanz den Böschungswinkel viel genauer zu bestimmen erlaubt als die wie ein Ideal aufgestellte Schraffentheorie, deren strikte Ausführung lange Übung erfordert.
Da aber die Niveaukurven für sich kein Bild gewähren, auch wenn sie mit kotierten Höhenangaben reichlichst ausgestattet sind, und keinen plastischen Eindruck hervorbringen können, so bleibt das Zeichnungsschema Lehmanns noch in Kraft, [* 24] und es erscheint als Vorteil, das gute Alte mit dem guten Neuen zu vereinigen. Der mathematische Wert der Schraffen ist durch die beigefügten Kurven ersetzt und dem ausführenden Techniker erleichtert. Der Schweizer Kartograph Ziegler hat auf seiner Karte des Kantons St. Gallen (1:25,000) eine Neuerung versucht, indem er jede ausgezogene Schicht von 100 m in nicht ausgezogene 10 Unterschichten von 10 m teilte, die Schraffen aber so stellte, daß sie bei jeder Zwischenschicht absetzten und so auch die nicht ausgezogenen Schichtenlinien sichtbar machten [* 11] (Fig. 15). Manche Versuche von Verbesserungen des Lehmannschen Systems (z. B. von Müffling) haben das leichtere Erkennen des für militärische Evolutionen tauglichen Terrains zum Anhaltspunkt genommen. Eine der rationellsten und das Wesen der Lehmannschen Schraffierungsskala nur unbedeutend alterierenden Abänderungen besteht in der Ausdehnung [* 25] auf 50° und
[* 11] ^[Abb.: Fig. 12. Sektionen eines Gradtrapezes.
Fig. 13.
Fig. 14.
Fig. 15. Zieglers Schraffierart.] ¶