im
Kampf gegen das
Kapital gepriesen wurde. Auch fügte er sich rasch und mit
Geschick in die 1866 in
Deutschland
[* 2] eingetretene
Wendung der politischen Verhältnisse
(»Deutschland nach dem
Krieg von 1866«, 6. Aufl.,
Mainz
[* 3] 1867). Seine Anhänglichkeit an
das
Papsttum bekundete er wiederholt in demonstrativer
Weise: 1854 wohnte er der
Publikation des
Dogmas von der
unbefleckten
Empfängnis in
Rom
[* 4] bei, feierte im Juni 1855 mit großem
Pomp das 1100jährige Säkularfest des heil.
Bonifacius
und war 1860 und 1867 wieder in
Rom.
Auf dem
Konzil 1870 gehörte er zu den
Bischöfen, welche die Opportunität des Unfehlbarkeitsdogmas bekämpften, und that
noch15. Juli einen (vergeblichen) Fußfall vor
Pius IX.
Schon im
August 1870 unterwarf er sich aber und verteidigte
das
Dogma in verschiedenen
Hirtenbriefen, in denen er Unterwerfung von allen Gläubigen verlangte. Seitdem übernahm er die
Führung der ultramontanen
Partei im
Kampf gegen das
Deutsche Reich
[* 5] und die preußische Kirchengesetzgebung. InTauberbischofsheim 1871 in
den ersten deutschen
Reichstag gewählt, wurde er
Führer der Zentrumspartei, legte indes sein
Mandat bald nieder, um sich durch
seinen
DomkapitularMoufang vertreten zu lassen.
An den Versammlungen der preußischen
Bischöfe in
Fulda
[* 6] nahm er regelmäßig teil, obwohl nur wenige
Gemeinden seiner
Diözese
seit 1866 preußisch waren, und vertrat hier mit Erfolg die
Politik des unbedingten
Widerstandes gegen
die staatliche
Gesetzgebung. 1874 untersagte er sogar in den
Kirchen seiner
Diözese die
Feier des Sedantags u. nannte den
Rhein
einen katholischen
Strom.
Sein Bischofsjubiläum 1875 wurde zu einer großen ultramontanen
Demonstration benutzt.
Wohin aber ein bedeutender, energischer, ja in gewissem
Sinn freiheitsliebender
Priester durch die
Konsequenzen
des ultramontanen, jesuitischen
Systems getrieben werden kann, dafür ist ein belehrendes
Beispiel. Von seinen zahlreichen
Schriften sind noch zu erwähnen: »Freiheit,
Autorität und
Kirche« (7. Aufl.,
Mainz 1862);
»Die wahren Grundlagen des religiösen
Friedens« (3. Aufl., das. 1868);
»Das allgemeine
Konzil und seine Bedeutung für unsre Zeit« (5. Aufl.,
das. 1869).
»Briefe von und an Wilh. Eman. Freih. v. Ketteler« gab
Raich heraus
(Mainz 1879).
(kontinuierlicher
Bruch), ein
Bruch, dessen
Zähler eine ganze Zahl und dessen
Nenner die
Summe aus einer ganzen
Zahl und einem
Bruch von derselben Bildungsweise ist; z. B.:
^[img]oder: ^[img]
Diese beiden Kettenbrüche sind endlich und haben rationale
Werte; hört aber der Kettenbruch nicht auf, so heißt er unendlich und
hat einen irrationalen Wert. Die
Brüche ¾, 7/8, 5/4, ½ im ersten und ½, 1/13, 1/7, ⅓ im zweiten
Beispiel nennt man die
Glieder
[* 9] des Kettenbruchs; haben alle
Glieder den
Zähler 1, wie im zweiten
Beispiel, so heißt der ein
einfacher. Die einfachen Kettenbrüche finden hauptsächlich zur Berechnung von Näherungswerten für
Brüche, deren
Zähler
und
Nenner sehr große
Zahlen sind, Anwendung.
Nimmt man nämlich statt des ganzen Kettenbruchs bloß das erste
Glied,
[* 10] dann die zwei ersten
Glieder, hierauf
die drei ersten
Glieder, so bekommt man Näherungswerte, die abwechselnd zu groß und zu klein sind, sich aber dem wahren
Wert immer mehr nähern, indem die Näherungswerte ungerader
Ordnung, also der erste, dritte, fünfte etc., abnehmen, diejenigen
gerader
Ordnung dagegen, also der zweite, vierte etc., wachsen. Diese Näherungswerte
(Partialbrüche) lassen sich leicht berechnen. Sind nämlich a1, a2, a3 ^[a1, a2, a3] etc.
die
Nenner der aufeinander folgenden
Glieder eines einfachen Kettenbruchs, so sind die Näherungswerte
1) ^[img] 2) ^[img]
3) ^[img] 4) ^[img]
5) ^[img] u. s. f.
Es hat also beispielsweise der zweite der obenstehenden Kettenbrüche die Näherungswerte
^[img],
deren letzter den richtigen Wert angibt. Der Wert eines einfachen Kettenbruchs ist stets kleiner als 1; um daher eine Zahl
in einen solchen Kettenbruch zu verwandeln, sondere man erst die Ganzen ab und verwandle den übrigbleibenden echten
Bruch. Zu dem Ende dividiere man mit dem
Zähler in den
Nenner, dann mit dem Rest in den vorigen
Divisor
(den
Zähler des zu verwandelnden
Bruches) und fahre so fort, indem man immer mit dem Rest in den vorigen
Divisor dividiert,
bis die Rechnung aufgeht. Die
Quotienten, welche sich hierbei ergeben, sind die
Nenner der
Glieder des Kettenbruchs.
Bei der
Verwandlung eines Dezimalbruchs in einen Kettenbruch hat man denselben zunächst als gemeinen
Bruch zu schreiben. Die Umwandlung
von 289/600 in einen Kettenbruch gibt z. B. folgende Rechnung:
^[img],
und man erhält so die
Nenner der
Glieder des
oben angegebenen einfachen Kettenbruchs. Außer zur Ermittelung von Näherungswerten
finden die Kettenbrüche auch in der unbestimmten
Analytik zur
Lösung diophantischer
Gleichungen, ferner in der
Algebra zur
Auflösung quadratischer
Gleichungen etc. sowie in der
Analysis Anwendung. Die Kenntnis der Kettenbrüche datiert aus dem 17. Jahrh.
LordBrounker (1620-84) hat bereits die
Ludolfsche Zahl durch einen Kettenbruch dargestellt.
Huygens zeigte die Verwendung
zur Ermittelung von Näherungswerten, ausführlicher hat sie dann
LeonhardEuler behandelt. Eingehendere
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