(s. d.). Auch leimt man verschiedenfarbige und passend geformte Holzstäbe zusammen
und zerschneidet die
Blöcke rechtwinkelig zur Längsrichtung in dünne
Platten. Diese zeigen dann
Muster, welche sich aus den
Querschnitten jener
Stäbe zusammensetzen.
ein
Ersatz für die kostbare und mühevolle
Holzintarsia durch die
Malerei, welche
dabei die matten
Farben der gefärbten, zum Einlegen benutzten
Hölzer nachzuahmen und in der
Zeichnung den
Charakter der Flächendekoration
innezuhalten hat. Man bedient sich der
Wasserfarben, die, wenn sie trocken sind, durch einen dünnen Auftrag von
Leim u. dgl.
geschützt werden. Die I., auchHolzmalerei, eine moderne
Technik, ist neuerdings in
Berlin
[* 2] durch
LudwigBurger (s. d.) zu großer Virtuosität ausgebildet worden und wird namentlich
von
Damen kultiviert, die Tischplatten, Kästchen,
Albums und ähnliche Luxusgegenstände mit I. dekorieren.
(lat.), ein
Ganzes ausmachend, für sich bestehend (s.
Integralrechnung);
[* 3] Integralen, die 2½proz. Schuldtitel
der holländischen
Staatsschuld.
In denNiederlanden wurde 1814 die auf ⅓ reduzierte
Schuld wieder in ihrem
vollen Betrag hergestellt, hiermit jedoch zugleich eine neue
Anleihe in
Verbindung gesetzt mit der
Bedingung, daß ⅔ der damaligen
Schuld für jetzt noch unverzinslich sein (die sogen. ausgestellte oder tote
Schuld, dette différée) und hiervon jährlich
ein Teil in die verzinsliche oder aktive
Schuld einrücken sollte, so wie von dieser eine gleiche
Summe
getilgt würde. Die
Obligationen der damals gebildeten wirklichen
Schuld heißen Integralen. Für die ausgestellte
Schuld wurden
zweierlei
Papiere ausgegeben,
Certifikate und Losbillets (Kansbillet,
Kanzen), in denen das Verlosen der zum Zinsgenuß gelangenden
Nummern erfolgte. - IntegraleStaatsschuld, s. v. w. fundierte
Staatsschuld.
der zweite Teil der
Infinitesimalrechnung, welcher sich mit der Ermittelung der
Integrale beschäftigt.
Zu dem
Begriff des
Integrals gelangt man folgendermaßen. Es sei f(x) eine
Funktion der
Variabeln x, die man sich geometrisch
versinnlichen kann, indem
man x als
Abscisse und y = f(x) als rechtwinkelige
Ordinate abträgt; ferner seien
a und b zwei
Werte von x,
a <b, und zwischen denselben mögen die
Werte x1, x2, x3, ... xn eingeschaltet werden.
Zieht man nun die
Ordinaten f(a), f(x1), f(x2), ... f(xn), f(b), so zerfällt die
Fläche, welche von x = a bis x
= b zwischen der Abscissenachse und der
Linie y = f(x) liegt, in n+1
Streifen, die man annäherungsweise
als
Rechtecke berechnen kann. Man erhält also als Annäherungswert für diese
Fläche die
Summe (x1 - a)f(a) + (x2 -
x1)f(x1) + ... + (b-xn)f(xn).
Je kleiner man die
Abschnitte x1 - a, x2 - x1 etc. auf der Abscissenachse macht,
und je größer man also gleichzeitig ihre Anzahl nimmt, desto genauer stellt diese
Summe die
erwähnte
Fläche dar, und der
Grenzwert, der sich ergibt, wenn man diese
Abschnitte verschwindend klein werden und ihre Anzahl über alle
Grenzen
[* 4] wachsen
läßt, ist der genaue Wert dieser
Fläche. Dieser
Grenzwert heißt nun das bestimmte
Integral der
Funktion
f(x) zwischen den
Grenzen a und
b und wird durch das Zeichen
a∫b f(x)dx
ausgedrückt. Die
Differenzen x1 - a, x2 - x1 etc. sind nämlich verschwindend kleine Zunahmen der
Abscisse x oder
Differentiale von x und werden mit dx bezeichnet. Der
Grenzwert obiger
Summe ist daher die
Summe der unendlich vielen verschwindend kleinen
Produkte f(x)dx, gerechnet von x = a bis x = b. Das
Wort
»Summe« wird durch
das Zeichen ∫ ausgedrückt, welches aus dem
Buchstaben S entstanden ist. Wir können uns das bestimmte
Integral auch als
ein
Volumen denken.
Legt man nämlich durch einen
Körper eine
Achse, welche man als Abscissenachse betrachtet, und errichtet darauf senkrechte
Ebenen, welche den
Körper in
Querschnitten f(x) schneiden, so kann man das Volumenelement dieses
Körpers als eine
Schicht von der
verschwindend kleinen
Dicke dx und dem
Querschnitt f(x) betrachten, also gleich f(x)dx setzen, und das
bestimmte
Integral drückt also das
Volumen des
Körpers zwischen x = a und x = b aus. Den Wert eines bestimmten
Integrals kann
man in vielen
Fällen nach folgender
Regel finden: Ist f(x) der
Differentialquotient (s.
Differentialrechnung)
[* 5] einer
FunktionF(x),
welche von x = a bis x = b stetig und endlich bleibt, so ist
Um das bestimmte
Integral zu ermitteln, hat man daher nur nötig, die
FunktionF(x) zu finden. Diese nennt man nun das unbestimmte
Integral von f(x) und bezeichnet sie mit ∫f(x)dx. Die Ermittelung der unbestimmtenIntegrale ist daher
die erste Aufgabe der I., und diese Aufgabe ist gerade das Gegenstück von der Bestimmung des
Differentialquotienten, der
Fundamentalaufgabe der
Differentialrechnung (s. d.). Die
Eigenschaften und die Wertermittelung bestimmter
Integrale bilden einen
zweiten Hauptgegenstand der I.; bestimmte
Integrale lassen sich nämlich auch dann oft genau angeben, wenn sich der
Wert des entsprechenden unbestimmten
Integrals nicht in geschlossener Form mit Genauigkeit darstellen läßt.
Den umfangreichsten, wichtigsten und noch lange nicht abgeschlossenen Teil der I. bildet die Integration der Differentialgleichungen.
Unter Differentialgleichungen versteht man
Gleichungen zwischen den
Funktionen, den unabhängigen
Variabeln und den
Differentialquotienten;
die Aufgabe besteht darin, die
Funktionen ohne Vermittelung der
Differentialquotienten durch die unabhängigen
Variabeln auszudrücken. Auf solche
Gleichungen kommt man meistenteils, wenn man geometrische, mechanische, physikalische
Probleme
mathematisch zu behandeln sucht.
Als Schöpfer der I. im heutigen Wortsinn ist
Leibniz zu betrachten; von ihm rührt auch das Zeichen ∫ her, das er zuerst
in einem
Manuskript vom angewandt hat.
Sein Zeitgenosse
Newton hat, wenn auch in andrer Form,
noch früher ähnliche
Probleme behandelt. Um die weitere
Ausbildung der I. haben sich im vorigen
Jahrhundert namentlich die
BrüderJakob und
JohannBernoulli, Leonh.
Euler, d'Alembert,
Lagrange u. a. verdient gemacht.