erhält nun zwei Gleichungen mit den
Unbekannten x und y.
Hat man diese nach dem obigen
Verfahren berechnet, so setzt man ihre
Werte in die eine der drei gegebenen Gleichungen ein, welche nun z liefert.
Sind vier Gleichungen mit den
Unbekannten x, y, z, u gegeben, so eliminiere man zunächst u dreimal und
erhält nun drei Gleichungen mit den
Unbekannten x, y, z. Man erkennt leicht, daß immer so viel Gleichungen vorhanden sein
müssen wie
Unbekannte; diese Gleichungen müssen aber voneinander unabhängig sein, d. h. es darf
nicht die eine aus den andern folgen,
und sie dürfen einander nicht widersprechen. Sind mehr
Unbekannte
vorhanden als Gleichungen, so wird die Aufgabe unbestimmt; ihre
Auflösung fällt der unbestimmten
Analytik zu. Bei der Anwendung
der
Mathematik auf
Physik,
Astronomie,
[* 2]
Geodäsie etc. kommt man häufig auf
Systeme von Gleichungen mit weniger
Unbekannten, als
die Anzahl der Gleichungen ist. Diese Gleichungen sind aber, weil sie Beobachtungsresultate enthalten,
nur annäherungsweise richtig. Wie man aus ihnen die wahrscheinlichsten
Werte der
Unbekannten berechnet, lehrt die
Methode der
kleinsten
Quadrate, ein Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Auflösung der Gleichungen zweiten
Grades mit einer
Unbekannten. Kommt in einer quadratischen Gleichung nur die zweite, nicht die erste
Potenz der
Unbekannten vor, so heißt sie eine rein quadratische. Man löst sie, indem man zuerst das
Quadrat
der
Unbekannten berechnet und dann die
Quadratwurzel auszieht, welche positiv und negativ zu nehmen ist. Aus 5x² - 115 = 2x²
+ 32 erhält man zunächst 5x² - 2x² = 32 + 115 oder 3x² = 147, daraus x² = 49 und hieraus x = ±7.
- Kommt außer der zweiten auch die erste
Potenz der
Unbekannten vor, so heißt die Gleichung eine gemischt quadratische. Bringt man
die unbekannten
Glieder
[* 3] auf die linke Seite, die bekannten auf die rechte und vereinigt soweit wie möglich, so erhält die
Gleichung die Form
Jede quadratische hat also zwei
Lösungen oder
Wurzeln. Ist 4ac + b² negativ, so ist die
Quadratwurzel eine imaginäre
Größe,
und x selbst besteht dann aus einem reellen und einem imaginären
Gliede; die beiden
Lösungen sind sogen.
komplexe Größen.
Sind zwei Gleichungen zweiten
Grades mit zwei
Unbekannten gegeben, so muß man die eine
Unbekannte eliminieren.
Dadurch kommt man im allgemeinen auf eine Gleichung vom vierten
Grad. In Bezug auf die
Lösung der Gleichungen dritten, vierten und
höhern
Grades muß auf die ausführlichen Lehrbücher der
Algebra verwiesen werden. Hier mag nur noch
erwähnt werden, daß jede Gleichung mit einer
Unbekannten so
viele
Wurzeln
(Lösungen) hat, als ihr
Grad angibt; doch kann sich darunter
eine gerade Anzahl von komplexen
Wurzeln befinden. Gleichungen von höherm als vom vierten
Grad kann man nicht mehr in geschlossener
Form durch algebraische
Ausdrücke lösen; wohl aber kann man die
Wurzeln numerischer Gleichungen stets
mit beliebiger Genauigkeit annäherungsweise berechnen.
Sie bildet die sogen. erste
Ungleichheit, die schon
Hipparch durch die
Annahme zu erklären versuchte, daß die
Bewegung mit konstanter
Geschwindigkeit in
einem exzentrischen
Kreis von statten gehe.
desMondes,jährliche, eineUngleichheit der
Länge des
Mondes, welche bis auf 11 1/5°
wachsen kann, und deren
Periode ein anomalistisches Jahr (s. Jahr) ist;
persönliche, eine zuerst durch astronomische
Beobachtungen entdeckte Unvollkommenheit der menschlichen
Sinne, infolge deren zwei gleichzeitige
Erscheinungen nicht genau in demselben
Moment durchGesicht
[* 10] und
Gehör
[* 11] wahrgenommen werden können, sondern nacheinander zum
Gehör gelangen. Von zwei Beobachtern, die unter übrigens ganz gleichen
Verhältnissen den
Durchgang eines
Sterns durch den
Meridian beobachten, bemerkt der eine diesen
Moment in Bezug auf den Pendelschlag
etwas früher, der andre etwas später.
Dieser Unterschied wird die p. Gleichung,, die Personalgleichung oder der persönliche Fehler
beider Beobachter genannt und ist nicht zu verwechseln mit den zufälligen Beobachtungsfehlern,
denn er bleibt, wenigstens
eine Zeitlang, ziemlich konstant und erreicht selbst zwischen geübten Beobachtern, deren einzelne Bestimmungen für sich
alle fast genau übereinstimmen, bisweilen über ½
Sekunde. Man kann, worauf zuerst
Arago aufmerksam machte,
die p. Gleichung, sehr verringern, wenn die Beobachter bloß den Antritt des
Sterns an die
Fäden des Meridianinstruments bestimmen,
sich aber um die Uhrschläge nicht weiter kümmern, sondern statt dessen diesen
Moment durch den
Druck auf einen Knopf mit
Hilfe eines
Chronographen fixieren.
welches sein Feldzugsleben zum Gegenstand hatte, und dem sich die »Campaigns at
Washington and NewOrleans« (1847) anschlossen. Aus der langen Reihe seiner übrigen Schriften erwähnen wir: »The Chelsea pensioners«
(1829, 3 Bde.);