seinen Mitmenschen als Einzelnen gegenübersteht. Hier ist selbst der Unterschied zwischen Inländern und Ausländern so
gut wie verwischt, indem letztere rücksichtlich ihrer
Rechtsgeschäfte und Rechtsverhältnisse, soweit solche privatrechtlicher
Natur, nach ebendenselben Prinzipien wie die Inländer behandelt werden. Sogar der
Souverän und der
Staat selbst erscheinen
in Ansehung ihrer privatrechtlichen Verhältnisse als
Privatpersonen. Die Gleichheit vor dem
Gesetz wird auch keineswegs
dadurch beeinträchtigt, daß das
Gesetz auf gewisse Lebensverhältnisse,
Geschlecht,
Alter, die geminderte Handlungsfähigkeit
gewisser
Personen, besondere Rücksicht nimmt, daß es die
Frauen, den sozialen Verhältnissen entsprechend, von öffentlichen
und Gemeindeämtern ausschließt, daß es unmündige und unzurechnungsfähige
Personen bevormundet u. dgl.
Im Gegenteil würde eine gleiche Behandlung aller
Personen in dieser Beziehung zur Ungleichheit führen, da die Lebensverhältnisse
derselben nicht die gleichen sind.
Was dagegen das Gebiet des öffentlichen
Rechts anbelangt, so liegt es zunächst in der
Natur der
Sache, daß nur der
Staatsbürger,
welcher zu den
Lasten des
Staats mit beiträgt, auch der
Rechte, welche die
Staatsverfassung garantiert,
teilhaftig und der
Ausländer also hiervon ausgeschlossen ist. Im übrigen aber hat die moderne
Gesetzgebung auch auf diesem
Gebiet den
Grundsatz der Gleichheit mehr und mehr zur Ausführung gebracht. Wir erinnern nur an die gleichmäßige Heranziehung
aller Staatsangehörigen zu den öffentlichenLasten, an die allgemeine
Wehrpflicht und an den
Grundsatz,
daß die öffentlichen
Ämter allen dazu Befähigten ohne Ansehung des
Standes zugänglich sein sollen.
Eine Sonderstellung kommt heutzutage nur dem
Souverän und seiner
Familie sowie in
Deutschland
[* 2] den Mitgliedern des sogen. hohen
Adels (s.
Adel) zu, namentlich in Ansehung der Mitgliedschaft der sogen.
Standesherren in der Ersten
Kammer
und der
Berechtigung zur Abschließung standesmäßiger und sogen. morganatischer
Ehen (s.
Ebenbürtigkeit).
Andre Bevorzugungen
gewisser
Klassen in Ansehung der aktiven und passiven
Wahlrechte, z. B. der Einkommensteuerpflichtigen und der Großgrundbesitzer,
bestehen zwar noch nach manchen Verfassungsurkunden; doch fehlt es nicht an Bestrebungen, auch hier eine
völlige Gleichheit herbeizuführen.
(lat.
Simile), figürlicher Gedankenausdruck, zufolge dessen eine
Vorstellung durch Vorführung
einer andern veranschaulicht, also ein
Bild (das Hauptbild) in einem Gegenbild vorgestellt wird. Handelt es sich dabei nur
um eine kurze Andeutung, um die Versinnlichung eines
Begriffs durch Hinweis auf etwas
Wirkliches, das ihm ähnlich ist (z. B.
edel wie
Gold,
[* 3] klug wie die
Schlangen),
[* 4] so nennt man dies Vergleichung. Das eigentliche Gleichnis malt dagegen
vollständig aus, es stellt nicht den einzelnen sinnlichen
Begriff neben den einzelnen unsinnlichen, sondern das Sinnliche
neben das
Sinnliche,
Bild neben
Bild, ja eine ganze
in sich abgeschlossene Reihenfolge von
Anschauungen neben die andre.
Der
Gebrauch solcher Gleichnisse ist eine Eigentümlichkeit der
EpenHomers und Vergils, aber auch in den
serbischen Heldenliedern und in modernen
Heldengedichten finden sie sich häufig.
Dasjenige, worin bei der Vergleichung Hauptbild
und Gegenbild zusammentreffen, heißt der Vergleichungspunkt
(tertium comparationis), und da
Bild und Gegenbild immer nur ähnlich,
nie völlig gleich sind, so sagt man wohl, jedes Gleichnis hinke
(»omne simile claudicat«). Von der
Metapher (s. d.)
unterscheidet sich das Gleichnis dadurch, daß in jener das Hauptbild in dem Gegenbild ganz aufgeht, während beim
Gleichnis beide nebeneinander bestehen und das Gegenbild nur zur Hervorhebung des Hauptbildes dient. Eine
Metapher ist es z. B.,
wenn man das jugendliche
Alter schlechtweg den
»Frühling desLebens« nennt, ein Gleichnis dagegen, wenn man sagt:
»das jugendliche
Alter ist in der
Reihe der
Lebensalter das, was der
Frühling in der
Reihe der
Jahreszeiten
[* 5] ist«.
Marschbewegung der
Truppen zu
Fuß in gleichem
Tempo mit gleicher Schrittweite und gleichzeitigem
Vorstrecken und Niedersetzen des
Fußes, im
Gegensatz zu »ohne
Tritt«, wobei sich jeder Mann nach seiner
Bequemlichkeit, wenn zwar auch in gewisser
Ordnung zum Ganzen bewegt. Der Gleichschritt ist erforderlich, um geordnete
Bewegungen geschlossener
Massen auf möglichst engem
Raum zu ermöglichen, strengt die Leute jedoch sehr an und ist daher nur beim
Exerzieren, bei
Paraden
etc. in Anwendung, wogegen der Reisemarsch »ohne
Tritt« geschieht. Der Wegfall solcher
Bewegungen im
G. in den
Heeren läßt geschichtlich stets ein
Nachlassen der
Kriegszucht
und eine Verminderung der Kriegstüchtigkeit der
Heere erkennen. Die Griechen und
Römer
[* 6] legten großen Wert auf den Gleichschritt, der
im
Mittelalter in Vergessenheit gekommen war und erst gegen Mitte vorigen
Jahrhunderts wieder eingeführt
ward.
die mathematische Bezeichnung für die
Verbindung zweier
Größen durch das Gleichheitszeichen (=). Diese
beiden
Größen nennt man die Seiten der Gleichung. Besteht eine Seite aus mehreren durch
Addition oder
Subtraktion verbundenen
Größen,
so nennt man dieselben ihre
Glieder.
[* 7] In der Gleichung 5x - 4 = 3x + 16 ist also 5x - 4 die linke und 3x + 16 die
rechte Seite; 5x und -4 sind die
Glieder der erstern, 3x und +16 diejenigen der letztern. Eine Gleichung ist entweder in allen
Fällen
richtig, wie z. B.
(a - b)²= a² - 2ab +
b², und heißt dann eine identische Gleichung, oder sie ist nur dann
richtig, wenn eine der darin vorkommenden
Größen einen bestimmten Wert oder einige bestimmte
Werte hat. So fordert z. B.
die Gleichung 5x - 4 = 3x + 16 zu ihrem Bestehen, daß x = 10 ist, und die Gleichung x³
- 8x² + 17x = 10 gilt nur, wenn x einen der
Werte 1, 2 oder 5 hat.
Solche Gleichungen nennt man Bestimmungsgleichungen. Die
Größe, deren Wert durch die Gleichung bestimmt wird, heißt die unbekannte
Größe oder kurz die
Unbekannte, und man bezeichnet sie mit x oder sonst einem der letzten
Buchstaben des
Alphabets. Es können auch zwei oder mehr
Unbekannte in einer Gleichung auftreten. Eine Gleichung heißt algebraisch angewandt, wenn die
unbekannte mit den bekannten
Größen nur durch die vier
Spezies verbunden oder als
Basis einer
Potenz oder unter einem Wurzelzeichen
vorkommt. Im
Gegensatz dazu nennt man Gleichungen, wie z. B. 3x = 81, wo die
Unbekannte in andrer Form auftritt, transcendente. Kommt in einer algebraischen Gleichung die
Unbekannte unter einem Wurzelzeichen
vor, so heißt die Gleichung irrational; im Gegenfall ist sie
rational. - Im folgenden werden wir uns nur mit algebraischen Gleichungen
beschäftigen. Man teilt dieselben ein 1) nach der Zahl der
Unbekannten, die in ihnen vorkommen, und 2)
nach ihrem
Grade, d. h. nach der
¶
mehr
höchsten Potenz der Unbekannten. Es ist beispielsweise 5x - 4 = 3x + 16 eine Gleichung des ersten Grades oder eine lineare Gleichung, 2x²
- 18x = 28 eine Gleichung zweiten Grades oder eine quadratische Gleichung; die Gleichungen dritten Grades heißen auch kubische, diejenigen
vierten Grades biquadratische Gleichungen. Mit einer Gleichung kann man folgende Veränderungen vornehmen:
1) Man kann auf jeder Seite dieselbe Größe addieren und subtrahieren. Man kann daher auch ein Glied
[* 9] von der einen auf die
andre Seite bringen (transponieren), wenn man ihm das entgegengesetzte Vorzeichen gibt; statt 5x - 4 = 3x + 16 kann man also
schreiben 5x - 3x = 16 + 4 oder 2x = 20. 2) Man kann jede Seite mit einer und derselben Größe multiplizieren oder dividieren.
Statt 2x = 20 kann man also, indem man mit 2 dividiert, schreiben x = 10, und statt (3x - 5) / (2x + 7)
= 4 kann man, mit 2x + 7 multiplizierend, setzen 3x - 5 = 4 (2x + 7). Auf diese Weise kann man alle Nenner aus einer Gleichung entfernen.
3) Man kann beide Seiten auf dieselbe Potenz erheben. Mittels dieser Regel läßt sich eine irrationale Gleichung rational machen.
Hat man z. B. die Gleichung ax + √(b+cx) = d, so isoliert man zunächst die Wurzelgröße, indem man ax auf
die rechte Seite bringt, und erhebt dann beide Seiten auf die zweite Potenz, wodurch man b + cx² = (d - ax)² oder b + cx²
= d² - 2adx + a²x² erhält.
4) Man kann auf beiden Seiten dieselbe Wurzel
[* 10] ausziehen; wenn also x³ = 64 ist, so ist x = ∛(64) oder x = 4. Mittels dieser
vier Regeln kann man die Gleichungen der ersten vier Grade mit einer Unbekannten auflösen, d. h. die Werte der in ihnen vorkommenden
Unbekannten berechnen. Man nennt diese Werte auch die Wurzeln der Gleichungen.
ergibt sich so, wenn man noch die Glieder jeder Seite soweit wie möglich vereinigt,
24x - 69 = 27x - 144.
Hierauf bringt man die bekannten Glieder auf die eine, die unbekannten auf die andre Seite und vereinigt
die Glieder jeder Seite; dies gibt
-3x = -75.
Dividiert man nun noch mit dem Faktor von x, so erhält man den Wert von x selbst, also
x = -75 / -3 = 25.
Aus der Gleichung ax + b = cx + d erhält man erst ax - cx = d - b oder (a - c) x = d - b und dann
x = (d - b) / (a - c)
Auflösung der Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten. Zur Bestimmung zweier Unbekannten sind
zwei Gleichungen nötig. Ehe man an die eigentliche Lösung geht, ordnet man jede Gleichung so, daß die unbekannten Größen links,
die bekannten rechts stehen, und vereinigt die gleichartigen Glieder.
Die beiden Gleichungen, auf welche wir so gelangt sind,
mögen
x + 4y = 19
4x - 2y = 4
sein. Um nun x zu berechnen, muß man aus den beiden Gleichungen eine neue bilden, welche nur noch x, nicht aber y
enthält; man muß y eliminieren (wegschaffen). Es gibt verschiedene Eliminationsmethoden, von denen die Additions- und Subtraktionsmethode
in den meisten Fällen die bequemste ist. Sie besteht darin, daß man eine der beiden Gleichungen oder
auch jede derselben mit einem passenden Faktor multipliziert, so daß nachher die zu eliminierende Unbekannte in beiden Gleichungen
denselben Faktor hat, worauf man beide Gleichungen addiert oder die eine von der andern subtrahiert, je nachdem die zu eliminierende
Unbekannte in beiden verschiedene Vorzeichen oder ein und dasselbe hat. In unsern beiden Gleichungen
würde man also die zweite Gleichung mit 2 multiplizieren, wodurch man
x + 4y = 19
8x - 4y = 8
erhält, und durch Addition dieser beiden Gleichungen ergibt sich 9x = 27, folglich x = 3. Um nun y zu erhalten,
kann man in die erste der gegebenen Gleichungen den Wert x = 3 einsetzen; das gibt 3 + 4y = 19 oder 4y = 16, folglich y = 4. Statt
dessen kann man auch die erste Gleichung mit 4 multiplizieren und dann die zweite von ihr abziehen, dies gibt 4x
+ 16y = 76;
x = (cβ - γb) / (aβ - αb), y = (aγ - αc) / (aβ - αb).
Bei einer andern Art der Elimination, der Substitutionsmethode, drückt man die eine Unbekannte mittels der ersten Gleichung aus
und setzt den Wert in die zweite ein. Hat man z. B. die Gleichungen
4x + 7y = 29
9x + 4y = 30,
so erhält man aus der ersten y = (29 - 4x) / 7,
und die Einsetzung dieses Wertes in die zweite Gleichung liefert
Ein andres Verfahren zur Elimination ist die Komparationsmethode: man berechnet aus jeder Gleichung eine Formel für die zu eliminierende
Unbekannte und setzt beide Werte einander gleich. Aus obigen zwei Gleichungen erhält man z. B.
y = (29 - 4x) / 7 und y = (30 - 9x) / 4,
woraus folgt
(29 - 4x) / 7 = (30 - 9x) / 4,
welche Gleichung den Wert von x liefert.
Zur Bestimmung von drei Unbekannten, x, y, z, sind drei Gleichungen nötig. Um dieselben zu berechnen,
eliminiere man zuerst eine Unbekannte, z. B. z, zweimal, also etwa zwischen der ersten und zweiten, sodann zwischen
der zweiten und dritten Gleichung; man
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