die vollkommenste, denn sie sahen in ihr als der Vereinigung der
Monas
(Einheit) und
Dyas
(Zweiheit) die erste
Verbindung der
von ihnen angenommenen Grundprinzipien aller
Dinge. Auch
Aristoteles legt der
Trias eine besondere Bedeutung bei, indem er alles
aus Anfang,
Mittel und Ende bestehen läßt, und die Gewinnung eines die Endglieder vermittelnden oder
überragenden mittlern Teils darf überhaupt wohl als das Hauptmotiv der Triadenbildungen angesehen werden. So stuft man
Klassen,
Ämter,
Orden,
[* 2]
Titel gern in drei
Grade ab, wie
Lehrling,
Geselle und
Meister, oder zerlegt
Symbole in drei
Glieder,
[* 3] wie
Glaube,
Liebe,
Hoffnung.
Der
Dreifuß war bei den Griechen das
Attribut des orakelgebenden
Gottes, das
Dreieck bei den
Indern das des
Krischna, bei den Ägyptern das
Symbol der
Inkarnation des
Osiris
[* 4] und des
Apis,
[* 5] bei den Persern das der
Fruchtbarkeit des
Mithras.
Im altindischen
Brahmanismus finden wir die
Trias als
Brahma (Weltschöpfer),
Wischnu (Erhalter und Beschützer) und
Siwa (Zerstörer
des Weltalls). Wir begegnen ihr ferner bei den alten Ägyptern, welche die drei Grundvokale I, A, O zur
symbolischen Bezeichnung einer Dreieinigkeitslehre gebrauchten, die von dort in das
System der Neuplatoniker überging.
Auch die überwiegende Mehrheit der christlichen Bekenntnisse zählt die
DreieinigkeitGottes zu ihren Fundamentallehren (s.
Trinität), und selbst in neuern philosophischen
Systemen (bei
Fichte,
[* 6]
Hegel etc.) spielt die geheimnisvolle
Dreizahl eine
Rolle. Für die Bedeutung derselben bei den Alten sprechen sonst noch zahlreiche Umstände. Es gab drei donnerschmiedende
Kyklopen,
[* 7] drei
Parzen, drei
Horen
[* 8] und anfangs drei, später dreimal drei
Musen.
[* 9]
Geryon,
Hekate,
[* 10]
Gorgo,
Sphinx
[* 11] und
Chimära waren dreigestaltig,
und
Kerberos
[* 12] hatte drei
Köpfe.
Die
Römer
[* 13] schlachteten an den Suovetaurilien dreierlei Vieh und stellten um den Eßtisch drei
Sofas, jedes mit drei
Plätzen.
Sie hatten dreierlei kurulische
Würden, dreierlei
Bänke des
Senats und zuletzt auch dreierlei
Stände.
SchonRomulus zählte
drei
Tribus, und wenn die
Triumvirate, welche den
Sturz der
Republik zur
Folge hatten, auch zufällig gewesen
sein mögen, so vertraute
man inRom
[* 14] wichtige Aufgaben doch meist drei Männern an. Das dreimalige
Aufgebot bei christlichen
Vermählungen, das dreimalige
Läuten vor dem
Gottesdienst, das dreimalige Ausschreiben bei gerichtlichen
Verhandlungen, der
dreimalige Aufruf bei
Versteigerungen, das dreimalige Lebehoch u. a. erinnern daran, daß
auch die Gegenwart der Zahl Drei wenigstens gewohnheitsmäßig noch eine besondere Bedeutung beimißt. Auch in der
Logik tritt die Dreizahl bedeutsam auf. Sie zählt drei
Funktionen des
Verstandes:
Begriffs-,
Urteils- und Schlußbildung, und
leitet bei der letztern aus zwei gegebenen
Urteilen das dritte ab, sowie sie zu derThesis und Antithesis
als die
Verbindung von beiden noch die
Synthesis hinzufügt. Die
Grammatik führt drei
Geschlechts- und Zahlformen, dreierlei
Casus obliqui und Steigerungsgrade, dreierlei
Personen und
Zeiten auf. - In der
Musik bezeichnet die
Ziffer 3 bei der Baßbezifferung
die
Terz, auch den vollkommenen
Dreiklang, in welchem
Fall gewöhnlich noch eine 5 darübersteht; in ausgeschriebenen
Stimmen deutet sie eine
Triole an. - Auch in der
Mathematik spielt die Dreizahl eine
Rolle: drei
Dimensionen hat der
Raum, und
danach zerfällt die
Geometrie in drei Teile, die
Longimetrie,
Planimetrie und
Stereometrie;
[* 1] eine der
Heraldik eigentümliche
[* 1]
Figur, welche meistenteils der eigentlichen Wappenfigur
(Tieren,
Pflanzen,
Gebäuden) als Unterlage dient, hier und da auch als selbständige
[* 1]
Figur vorkommt und in der
Regel grün tingiert wird.
Der
Dreiberg besteht aus drei bogenförmigen
Erhöhungen, von denen die mittlere die andern überragt (s. Figur).
Gebirge werden in der Bilderschrift der
Heraldik durch ein Übereinandersetzen von Dreibergen dargestellt.
(Triangel), eine von drei
Linien (Seiten) eingeschlossene
[* 1]
Figur mit ebenso vielen
Winkeln oder
Ecken. Nach der
Beschaffenheit der Seiten unterscheidet man: geradlinige, krummlinige und gemischtlinige Dreiecke.
Die geradlinigen, welche stets in einer
Ebene liegen, werden eingeteilt nach dem
Verhältnis der Seiten in gleichseitige mit
drei gleichen Seiten, gleichschenkelige mit bloß zwei gleichen Seiten (den
Schenkeln) und ungleichseitige
[* 1]
(Fig. 1); nach
den
Winkeln in spitzwinkelige mit drei spitzen
Winkeln, rechtwinkelige mit einem rechten
Winkel (und zwei
spitzen) und stumpfwinkelige mit einem stumpfen
Winkel (und zwei spitzen,
[* 1]
Fig. 2).
Stumpf- und spitzwinkelige Dreiecke nennt
man auch schiefwinkelige. Im rechtwinkeligen Dreieck nennt man die beiden den rechten
Winkel einschließenden Seiten
Katheten, die
dem rechten
Winkel gegenüberliegende Seite aber
Hypotenuse.
Die der
Basis oder
Grundlinie gegenüberliegende
Ecke eines Dreiecks heißt dessen
Spitze. Eine senkrechte
Gerade, welche von der
Spitze auf die
Grundlinie oder deren
Verlängerung
[* 19] gefällt wird, ist die
Höhe des Dreiecks. Betrachtet
man in einem rechtwinkeligen Dreieck eine
Kathete als
Grundlinie, so ist die andre die
Höhe. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in
den
Winkeln, kongruent (sich deckend) oder ähnlichgleich, wenn sie in den Seiten und
Winkeln übereinstimmen.
Als die bemerkenswertesten
Eigenschaften
der Dreiecke sind besonders folgende hervorzuheben:
1) Eine Seite ist stets kleiner als die Summe der beiden andern, und der Unterschied zweier Seiten ist allemal kleiner als
die dritte Seite.
2) Gleichen Seiten eines Dreiecks liegen gleiche Winkel gegenüber, und gleichen Winkeln liegen gleiche Seiten gegenüber; der
größern der zwei Seiten liegt der größere Winkel, und dem größern Winkel liegt die größere Seite
gegenüber.
3) Der (durch eine Seite und die Verlängerung der andern gebildete) Außenwinkel
[* 21] eines Dreiecks ist gleich der Summe der gegenüber
(d. h. an den beiden andern Ecken) liegenden Innenwinkel.
4) In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel gleich zwei rechten Winkeln (Rechten) oder 180°; daraus folgt:
a) wenn man die Summe zweier Winkel von zwei Rechten abzieht, so erhält man den dritten Winkel; b) die beiden spitzen Winkel
eines rechtwinkeligen Dreiecks betragen zusammen einen Rechten, und wenn die Katheten einander gleich sind, so ist jeder der
spitzen Winkel gleich einem halben Rechten; c) in einem gleichschenkeligen Dreieck ist jeder der beiden gleichen Winkel ein spitzer;
d) im gleichseitigen Dreieck beträgt jeder Winkel 60°. 5) Wenn man in einen Halbkreis ein Dreieck einzeichnet, so daß die Endpunkte
des Durchmessers und ein Punkt der Peripherie die Ecken bilden, so ist dasselbe rechtwinkelig, und der Durchmesser
ist die Hypotenuse.
7) Die Fläche eines Dreiecks wird erhalten, wenn man die Zahl, welche die Länge der Grundlinie angibt,
mit der Zahl, welche die Länge der Höhe in demselben Maß angibt, multipliziert und das Produkt halbiert.
8) Bestimmt wird ein a) durch die drei Seiten, b) durch zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel, c) durch zwei Seiten
und den Gegenwinkel der größern, d) durch eine Seite und zwei auch der Lage nach gegebene Winkel. Stimmen
zwei Dreiecke in drei solchen Stücken überein, so sind sie kongruent.
9) Ähnlich sind zwei Dreiecke, wenn sie übereinstimmen: a) in zwei Winkeln, b) in dem Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen
Winkel, c) in dem Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größern, d) in den Verhältnissen
der drei Seiten. Die Berechnung der fehlenden Stücke eines ebenen Dreiecks aus den gegebenen ist Aufgabe der ebenen Trigonometrie.
[* 23] Von den krummlinigen Dreiecken sind besonders die auf der Kugel liegenden, von Bogen
[* 24] größter Kreise
[* 25] gebildeten sphärischen
Dreiecke von Wichtigkeit, deren Berechnung der sphärischen Trigonometrie zufällt.
[* 1] (großer Triangel), Sternbild zwischen 1h 30m und 2h 30mRektaszension und +27° und +35° Deklination,
enthält 30 mit bloßem Auge
[* 26] sichtbare Sterne, von denen die drei hellsten das Dreieck bilden;