Joh.
August, Schriftsteller, geb. 1805 zu
Gazen bei
Pegau, widmete sich 1824-28 in
Leipzig
dem
Studium der
Medizin, lebte aber dann ausschließlich als Schriftsteller daselbst und starb in
Schloß-Chemnitz.
Gewandter und höchst thätiger Übersetzer, vermittelte er die Verbreitung zahlreicher
Romane französischer und englischer
Autoren, auch einiger
Reisen und wissenschaftlicher Werke. Seine eignen
Schriften: »Aus
Weimars Glanzzeit« (Leipz. 1855),
enthalten viel biographisches
Material. Zuletzt schrieb er die
Romane:
»LeichtesBlut«
(Jena
[* 8] 1864, 3 Bde.)
und »Frauenschuld« (das.
1866, 2 Bde.).
(lat.,
Defamation), Verbreitung einer übeln Nachrede gegen jemand, dann die gegen andre ausgesprochene
Berühmung, an einen Dritten eine
Forderung zu haben, auf welche hin nach früherm Prozeßrecht dieser Dritte (Diffamat) berechtigt
war, den sich Berühmenden (Diffamanten) zur
Anstellung einer
Klage (Diffamationsklage) gerichtlich zu
veranlassen;
Zumeist sind es rotierende
Wellen
[* 9] oder konische glatte und gezahnte
Räder, welche, sich in entgegengesetztemSinn
bewegend, auf ein mittleres, dazwischengelegtes
Rad
einwirken und dasselbe im
Verhältnis des Unterschieds ihrer
Bewegungen
drehen, wodurch ein gewünschter
Effekt erzielt wird. Zuweilen wird jedoch durch entgegengesetzten
Druck von
Flüssigkeiten
auch eine geradlinige
Bewegung vermindert, wie beim
Dynamometer
[* 10] und
Anemometer.
[* 11] Einige dieser
Apparate sind näher unter den
betreffenden Hauptwörtern erläutert.
astronomische
Beobachtungen, bei welchen man den scheinbaren
Ort eines
Sterns nicht unmittelbar
mißt, sondern beobachtet, um wieviel er von dem eines andern, benachbarten
Sterns entfernt ist (seine
Distanz), und nach welcher
Richtung hin diese
Entfernung liegt
(Positionswinkel);
der erste Hauptteil der
Infinitesimalrechnung. Ist y = f (x) eine
Funktion (s. d.) von x, so wird
eine Änderung der letztern
Größe auch eine Änderung der erstern zur
Folge haben. Wir wollen annehmen, die unabhängige
Variable x wachse um Δx (gelesen
»Delta
[* 17] x«, d. h. Änderung oder
Differenz von x), dann wird y sich ändern
(zu- oder abnehmen) um die
Größe f(x + Δx) - f(x), die wir mit Δy oder Δf(x) bezeichnen. Den
Quotienten
^[img]
nennt man den Differenzenquotienten, und die nähere Untersuchung desselben und überhaupt der Beziehungen zwischen Δx und
Δy bildet den Gegenstand der
Differenzenrechnung. Von besonderer Wichtigkeit für die Untersuchung und
Anwendung der
Funktionen ist aber der Wert,
den der Differenzenquotient für Δx = 0 annimmt; er heißt dann
Differentialquotient
und wird mit ^[img] bezeichnet. Seine Bestimmung für jede beliebige
Funktion bildet die erste Aufgabe der Differentialrechnung. Da für Δx
= 0 auch Δy = 0 ist, so erscheint der
Differentialquotient zunächst in der unbestimmten Form ^[img];
daß er aber gleichwohl einen bestimmten Wert besitzt, erkennt man zunächst an einzelnen
Beispielen. Ist z. B. f(x) = x³,
so ist f(x + Δx) = (x + Δx)³ = x³ + 3x * Δx² + Δx³, mithin ^[img],
und wenn man hier Δx = 0 setzt, so ergibt sich
^[img].
Man findet auch leicht verschiedene Bedeutungen des
Differentialquotienten. Wenn f(x) die
Länge des Wegs bedeutet, welchen
ein
Punkt in der Zeit von x
Sekunden zurücklegt, so ist f(x + Δx) - f(x) der in dem Zeitteilchen Δx
zurückgelegte Weg. Je kleiner nun dieses Zeitteilchen ist, mit desto größerer Genauigkeit kann man die
Bewegung während
desselben als gleichförmig betrachten, und es bedeutet daher annäherungsweise den Weg, welcher in 1
Sekunde zurückgelegt
wird, oder die
Geschwindigkeit. Diese Behauptung wird ganz richtig für Δx = 0, d. h.
der
Differentialquotient des Wegs ist die
Geschwindigkeit. Ist aber y = f(x) die zur
Abscisse x = OM gehörige
Ordinate MP einer
ebenen
Kurve (s. Figur), ferner Δx =
MM' und f(x + Δx) die
OrdinateM'P', und zieht man PQ parallel zur
Achse OX, so ist
wofür man wegen der Ähnlichkeit
[* 19] der Dreiecke PQP' und SMP auch setzen kann ^[img] MP/SM = tan XSP. Der Differenzenquotient
erscheint also als die trigonometrische Tangente des Winkels, den die Sekante PP' mit der Achse OX einschließt. Läßt man nun
Δx stetig abnehmen bis zur GrenzeNull, so geht die Sekante PP' über in die geometrische Tangente TP des
Kurvenpunktes P, und es ist daher
^[img] df(x)/dx = tan XTP.
Durch den Differentialquotienten ist also die Richtung der geometrischen Tangente an eine ebene Kurve bestimmt. Dadurch wird
es begreiflich, wie das sogen. Tangentenproblem, d. h. die Aufgabe,
an einen beliebigen Punkt einer ebenen Kurve die Tangente zu legen, zuerst Anlaß gab zu dem Streben, den
Differentialquotienten für jede beliebige Funktion zu finden, und damit zur Schöpfung der Differentialrechnung. Übrigens ist mit den beiden
hier gegebenen Deutungen des Differentialquotienten der Bereich der Anwendungen desselben nicht erschöpft, doch können wir
hier nicht weiter darauf eingehen.
Die Differentialrechnung ist überall, wo es sich um Untersuchung stetig veränderlicher Größen handelt, unentbehrlich.
IhreErfindung fällt in die zweite Hälfte des 17. Jahrh., und wenn wir unter Differentialrechnung den
bestimmten Algorithmus verstehen, den wir jetzt so nennen, so ist Leibniz als der Erfinder zu bezeichnen. Geometrische Betrachtungen,
wie die vorstehende, bildeten bei ihm den Ausgangspunkt. Er hat seine Entdeckung zuerst in dem Oktoberheft
der »Acta Eruditorum« 1684 bekannt gemacht. Im Wesen mit der Differentialrechnung übereinstimmend ist die Fluxionsrechnung Newtons.
[* 20]
Dieser geht vom Begriff der stetigen Bewegung aus und bezeichnet in der Gleichung y = f(x) die Größen x und y als fließende
Größen oder Fluenten; die unendlich kleinen Änderungen derselben, die Leibnizschen Differentiale dx und dy, nennt er Fluxionen
und bezeichnet sie mit ẋ, ẏ. Das Verhältnis beider ist der Differentialquotient. Obgleich älter als die Differentialrechnung, hat die Fluxionsrechnung,
wohl zum großen Teil wegen der unbequemen Bezeichnungsweise, nicht die hohe Ausbildung und weniger Anwendung
gefunden als erstere. Über die Erfindung der Differentialrechnung und über den erbitterten Streit, der sich darüber erhoben hat, vgl.
Gerhardt, Die Entdeckung der höhern Analysis (Halle
[* 21] 1855); Weißenbern, Prinzipien der höhern Analysis (das. 1856). Über Lehrbücher
vgl. Integralrechnung.
[* 22]