Bruchbau - Bruchrechnung

Bruchbau,

s. Bergbau, ^[= der Inbegriff aller Arbeiten, mittels welcher nutzbare Fossilien in der Masse des Erdkörpers ...] [* 4] S. 725.

Bruchbeere,

s. v. w. Heidelbeere, Vaccinium myrtillus L.

Bruchberg,

ein Bergrücken des Harzes, im Norden [* 5] von Andreasberg;

vgl. Brocken.

Brüche

(Brüchte), im mittelalterlichen Rechtsleben sowohl die geringern Verbrechen, auch Frevel genannt, die beim Brüchtengericht untersucht wurden, und deren Strafe in Geld bestand, als auch diese Strafen selbst, welche im Fall der Zahlungsunfähigkeit des Thäters in gelindere, nicht verstümmelnde körperliche Züchtigungen verwandelt wurden. Daher nannte man diese Übertretungen auch »Sachen, die an Haut [* 6] und Haar [* 7] gehen«. Hohe Brüche dagegen, auch Ungerichte genannt, waren Verbrechen, »welche an Hals und Hand gingen«, d. h. Todesstrafe oder eine verstümmelnde Strafe nach sich zogen. Diese gehörten vor die Zent- oder Halsgerichte.

Bruchhausen,

Arnolfo di Cambio - Ar

1) Dorf im preuß. Regierungsbezirk Arnsberg, [* 8] Kreis [* 9] Brilon, mit (1880) 725 Einw. (viele Nagelschmiede).

Nahebei auf dem Isenberg die Bruchhäuser Steine, turmartige Porphyrfelsen (bis 748 m hoch). - 2) (Alt-Bruchhausen) Flecken im preuß. Regierungsbezirk Hannover, [* 10] Kreis Hoya, hat ein Amtsgericht, ein altes Schloß, 2 Dampfsägemühlen, (1880) 1081 Einw.

Bruchrechnung,

der Inbegriff der Regeln für das Rechnen mit Brüchen. Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert; besonders macht man von der letztern Regel Anwendung beim Kürzen der Brüche, z. B. ⁹/12 = ¾, wo Zähler und Nenner mit 3 dividiert worden sind. Brüche kann man nur addieren, wenn sie gleiche Nenner haben; ist letzteres nicht der Fall, so muß man sie erst auf gleiche Nenner bringen. Zu diesem Ende sucht man den Generalnenner oder Hauptnenner, d. h. die kleinste Zahl, in welcher alle Nenner ohne Rest aufgehen, und bestimmt dann für die einzelnen Brüche nach der ersten der obigen Regeln die Zähler zu diesem Generalnenner.

Zuletzt addiert man diese Zähler und dividiert die Summe durch den Generalnenner. Hat man z. B. zu addieren: ½ + ⅓ + ¼, so ist die kleinste Zahl, in welcher 2, 3 und 4 ohne Rest aufgehen, also der Generalnenner, 12, und da ½ = 6/12, ⅓ = 4/12, ¼ = 3/12, so gibt die Summe ¹³/12 oder 1 ¹/12. Bei der Subtraktion der Brüche sucht man ebenfalls, wenn die Nenner nicht gleich sind, den Generalnenner und die entsprechenden Zähler und subtrahiert letztere voneinander. Die Multiplikation von Brüchen mit ganzen Zahlen geschieht, indem man die Zähler mit diesen Zahlen multipliziert und die Nenner unverändert läßt.

Brüche werden mit Brüchen multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Z. Bruchrechnung ³/8 × ²/4 = (3 × 2) / (8 × 4) = 6 / 32 = 3 / 16. Brüche werden durch ganze Zahlen dividiert, indem man ihre Nenner mit diesen Zahlen multipliziert. Z. Bruchrechnung ³/8 : 2 = 3 / (8 × 2) = 3 / 16. Brüche werden durch Brüche dividiert, indem man den Zähler des Dividenden mit dem Nenner des Divisors multipliziert und das Produkt durch den Nenner des Dividenden, multipliziert mit dem Zähler des Divisors, dividiert. Z. Bruchrechnung 5 / 6 : 3 / 4 = (5 × 4) / (6 × 3) = 20 / 18 = 1 ²/18 = 1 ¹/9.

Dezimalbruchrechnung.

Für sehr viele Fälle ist das Rechnen mit Dezimalbrüchen von großem Vorteil. Um einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch zu verwandeln, dividiere man, ist es ein unechter Bruch, mit dem Nenner in den Zähler, hänge dem Rest eine Null an, dividiere wieder, hänge den Resten immer wieder Nullen an und ordne die so erhaltenen Quotienten hinter dem gewonnenen Ganzen in der Reihe aneinander. Ist der Bruch dagegen ein echter, so hat man gleich anfänglich eine Null anzuhängen und dann zu dividieren und zu ordnen.

Die Division geht auf, wenn der Nenner des angegebenen gewöhnlichen Bruches durch keine andern Primzahlen außer 2 und 5 teilbar ist;

z. B. ½ = 0,5;

¼ = 0,25;

¾ = 0,75;

¹/8 = 0,125;

³/8 = 0,375 etc. Geht die Division nicht auf, so kann man den gemeinen Bruch nur näherungsweise durch einen Dezimalbruch darstellen, z. B. ⅓ = 0,3333..., ⁵/6 = 0,83333... In einem solchen Fall muß bei der Verwandlung des gemeinen Bruches in einen Dezimalbruch die Division wieder einmal einen frühern Rest geben, und dann müssen auch die frühern Quotienten wiederkehren;

in dem Dezimalbruch wiederholt sich dann beständig dieselbe Gruppe von Ziffern, z. B. 0,454545... = ⁵/11. Diese immer wiederkehrende Gruppe (hier 45) heißt die Periode;

Bruchsal - Bruchsteine

der Dezimalbruch selbst, welcher ins Unendliche fortgeht, heißt ein periodischer und zwar ein rein periodischer, wenn die Periode gleich mit der ersten Dezimalstelle anfängt, wie in unserm Beispiel, ein ¶

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gemischt periodischer, wenn die ersten Dezimalstellen sich nicht wiederholen, z. B. 0,1666... = 1/6, wo 6 die Periode ist. Bricht man einen unendlichen Dezimalbruch an einer gewissen Stelle ab, und ist die erste weggelassene Ziffer 5 oder größer als 5, so erhöht man die letzte in Rechnung gezogene Ziffer um 1; es ist also auf vier Stellen genau ¹/6 = 0,1667 (eigentlich 0,16666...). Auf solche Weise wird der Fehler, den man durch Weglassung der folgenden Ziffern begeht, auf das geringste Maß gebracht. Um einen endlichen Dezimalbruch in einen gemeinen Bruch zu verwandeln, setzt man den zugehörigen Nenner und kürzt, z. B. 0,625 = ⁶²⁵/1000 = ⁵/8. Ist der zu verwandelnde Dezimalbruch rein periodisch, so setzt man unter die Periode so viele 9, als dieselbe Stellen hat, und kürzt, z. B. 0,4545 = ⁴⁵/99 = ⁵/11. Sind aber auch nicht periodische Ziffern vorhanden, z. B. bei dem Bruch 0,144545..., so denkt man sich zunächst das Komma so weit nach rechts verschoben, daß die vorperiodische Gruppe Ganze darstellt; also 14,4545... Die so erhaltene Zahl verwandelt man in einen unechten Bruch (14 ⁴⁵/99 = 14 ⁵/11 = 159/11) und hängt dann an den Nenner desselben so viele Nullen an, als die Anzahl der vorperiodischen Ziffern betrug; also in unserm Fall zwei, so daß 0,144545... = ¹⁵⁹/1100 ist.

Beim Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen setzt man dieselben so untereinander, daß Dezimalzeichen unter Dezimalzeichen zu stehen kommt, und rechnet dann wie mit ganzen Zahlen, indem man auch im Resultat das Dezimalzeichen unter die andern Dezimalzeichen setzt. Hierbei ist zu beachten, daß man einem Dezimalbruch rechts so viele Nullen anhängen darf, als man will, ohne seinen Wert zu andern. Auch bei der Multiplikation rechnet man mit Dezimalbrüchen wie mit ganzen Zahlen, schneidet aber im Produkt von der rechten Hand gegen die linke so viele Dezimalstellen ab, als im Multiplikator und Multiplikandus zusammen vorhanden sind; z. B. 5,26 × 1,254 = 6,59604. Wenn das Produkt gerade so viel Ziffern hat als beide Faktoren zusammen, so muß man eine Null links vor das Komma setzen, bei noch weniger Ziffern des Produkts aber dieselben durch vorgesetzte Nullen ergänzen und außerdem noch eine vor das Komma setzen, z. B. 0,25 × 0,15 = 0,0375. Mit 10, 100, 1000 etc. multipliziert man einen Dezimalbruch, indem man das Komma um so viele Stellen nach rechts rückt, als der Multiplikator Nullen hat. Um die Division auszuführen, hängt man dem Divisor oder Dividendus so viele Nullen an, bis beide gleich viele Dezimalen haben, und dividiert dann unter Weglassung der Kommas, wie bei der Verwandlung von gewöhnlichen Brüchen in Dezimalbrüche; dabei wird sich ergeben, ob man Ganze bekommt oder nicht, ob dem Komma eine Null vorgesetzt werden muß oder nicht.

Durch 10, 100, 1000, 10,000 etc. dividiert man einen Dezimalbruch, indem man das Komma des Dividendus um so viele Stellen nach links rückt, als der Divisor Nullen hat. Enthält der Dividendus gerade noch so viele Stellen links vor dem Komma, als der Divisor Nullen hat, so kommen keine Ganzen heraus, und man setzt daher links vor das Komma eine Null. Hat aber der Dividendus nicht so viele Stellen vor dem Komma, als der Divisor Nullen enthält, so setzt man an jeder fehlenden Stelle links vor den Dezimalen eine Null, vor die vorderste Null das Komma und vor dieses zum Zeichen, daß Ganze nicht vorhanden sind, noch eine Null;

z. B. 35,372 : 10 = 3,5372;

35,372 : 100 = 0,35372;

35,372 : 10,000 = 0,0035372. Die abgekürzte Division der Dezimalbrüche besteht darin, daß man, anstatt dem Rest eine Null anzuhängen, denselben unverändert läßt, dafür in denselben mit dem um seine niedrigste Stelle beraubten Divisor dividiert, wobei jedoch, wenn die wegzulassende Stelle des Divisors eine 5, 6, 7, 8 oder 9 ist, die darauf folgende im Divisor um 1 vermehrt werden muß, wogegen sie ungeändert bleibt, wenn die wegzulassende Stelle eine 0, 1, 2, 3 oder 4 ist.